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522. 已知正四棱錐的各條棱都是a.

(1)求底面一邊到相對(duì)側(cè)面的距離；

(2)求證：相鄰兩側(cè)面所成二面角等于側(cè)面和底面所成二面角的2倍；

(3)求相對(duì)兩側(cè)面所成二面角的余弦值.

(1)解：　 作PO⊥底面ABCD，垂足是O，取BC、AD、PB的中點(diǎn)F、E、M，連結(jié)PE、PF、EF、OM、MC、MA.

∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，AD到平面PBC的距離就是E點(diǎn)到平面PBC的距離，∵BC⊥平面PEF，∴平面PEF⊥平面PBC.∴E點(diǎn)到交線PF的距離就是E點(diǎn)到平面PBC的距離d.

∴d·PF＝PO·EF,d·a＝a·,∴d＝a.

(2)在ΔACM中，∵AM＝MC＝a,AD＝OC,∴OM是∠AMC的平分線，又AM⊥PB，CM⊥PB，∴∠AMC是二面角A-PB-C的平面角，∠OFP是二面角P-BC-AD的平面角.

又∵AO＝PO＝a,AM＝PF＝a,∴RtΔPOF≌RtΔAMO.

∴∠AMC＝2∠PFO，∴命題成立.

(3)設(shè)相對(duì)兩側(cè)面PBC、PAD的交線是l，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴AD∥l，∵BC⊥平面PEF，∴l(xiāng)⊥平面PEF，∴∠EPF就是所求二面角的平面角.

∴cos∠EPF＝＝.

521. 　已知邊長(zhǎng)為10的正ΔABC的頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)B、C在平面α同側(cè)，BD為AC邊上的中線，B、C到平面α的距離分別是BB₁＝2，CC₁＝4

(1)求證：BB₁∥平面ACC₁

(2)求證：BD⊥平面ACC₁

(3)求四棱錐A-BCC₁B₁的體積

解析： 本小題考查空間圖形線、面的平行、垂直關(guān)系，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力.

解　 (1)∵BB₁⊥α，CC₁⊥α，∴BB₁∥CC₁

∵BB₁平面ACC₁，CC₁平面ACC₁，

∴BB₁∥平面ACC₁.

(2)∵

過(guò)D點(diǎn)作AC₁的垂線DD₁，則DD₁⊥α.

∵DD₁＝CC₁＝×4＝2＝BB₁，

∴四邊形B₁BDD₁是矩形

∴B₁D₁∥BD

∵BD⊥平面ACC₁

(3)在RtΔABD中，BD＝＝＝B₁D₁

在RtΔACC₁中，AC₁＝＝，連結(jié)BC₁，

則＝+＝××AC₁×B₁D₁×BB₁+××AC₁×CC₁×BD.

∴＝××××2+××××4＝30.

520.　 如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中E∈BB₁，截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁

(1)求證：BE＝EB₁

(2)若AA₁＝A₁B₁，求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數(shù)

解析： 欲證BE＝EB₁，可證A₁E＝EC，由截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁，考慮到作EG⊥A₁C于G，關(guān)鍵在于證出G是A₁C的中點(diǎn)，為了利用正棱柱的性質(zhì)，可取AC中點(diǎn)F，證FG∥AA₁即可.

證明：　 (1)在截面A₁EC中，作EG⊥A₁C于G，∵面A₁EC⊥面A₁C，∴EG⊥面A₁C，取AC中點(diǎn)F，連BF、FG，易證EBFG為平行四邊形，∴BE＝FG，又證得FG＝AA₁，∴BE＝AA₁＝BB₁，即BE＝EB₁.

(2)分別延長(zhǎng)CE、C₁B₁交于點(diǎn)D，連A₁D，利用E是BB₁的中點(diǎn)，可證得A₁C₁⊥A₁D，由三垂線定理，可證出A₁C⊥A₁D，

∴∠CA₁C₁為所求二面角的平面角，由A₁A＝A₁C，得∠CA₁C₁＝45°.

評(píng)析　 本題解題思路：由證E是BB₁的中點(diǎn)證G是A₁C的中點(diǎn)GF∥AA₁，要完成此過(guò)程，除具有扎實(shí)的立幾基本功外，尚需很好的平幾修養(yǎng)，確實(shí)是一個(gè)考查基礎(chǔ)知識(shí)很全面的好題.

519.三棱錐的三個(gè)側(cè)面互相垂直，它們的面積分別為6m²,4m²和3m²，求它的體積.

解析：設(shè)三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為xm,ym,zm.則三個(gè)側(cè)面積分別為、、.

依題意： 則　 xyz＝24

而　 V_S-ABC＝V_A-SBC＝·yz·x＝×24＝4(m³)

∴它的體積為4m³.

518.將正方體截去一個(gè)角，求證：截面是銳角三角形.

已知：正方體中截去以P為頂點(diǎn)的一角得截面ABC.

求證：ΔABC是銳角三角形.

證明：如圖，P-ABC是一個(gè)四面體.

∵ΔPAB、ΔPBC、ΔPCA都是直角三角形.

∴ 則　 z²＝(a²+b²-c²)

∵z≠0，∴a²+b²-c²＞0

即　 c²＜a²+b²,∴b²＜a²+c².

∴∠BAC、∠ABC都小于90°.

∴ΔABC為銳角三角形.

517.　 如圖三棱錐P-ABC中，PA＝a,AB＝AC＝2a,∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱錐P-ABC的體積.

解法一：過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，∵∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°

∴AO平分∠BAC

∴cos∠PAO＝＝，∴sin∠PAO＝＝

∴PO＝asin∠PAO＝a

∴V_棱錐＝××2a×2asin60°×a＝a³

點(diǎn)評(píng)　 這種方法叫直接法，就是利用錐體的體積公式直接計(jì)算，這是一種常規(guī)方法，必須掌握.

解法二：取AB、AC中點(diǎn)M、N的連結(jié)PM、PN

∵PA＝a,AB＝AC＝2a,∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°

∴三棱錐P-AMN為棱長(zhǎng)為a的正四面體，且S_ΔAMN＝S_ΔABC

∴V_P-AMN＝V_P-ABC，而V_P-AMN＝a³

∴V_P-ABC＝4V_P-AMN＝a³

點(diǎn)評(píng) 　此法是根據(jù)棱長(zhǎng)與含有60°角的三角形的關(guān)系，把錐體截成棱長(zhǎng)相等的三棱錐，然后根據(jù)小錐體的體積與原棱錐的體積關(guān)系，求原棱錐的體積.

解法三　 在ΔPAB中，PA＝a,AB＝2a

又∠PAB＝60°，∴∠APB＝90°

同理∠APC＝90°∴AP⊥平面PBC

又S_ΔPBC＝a² ∴V_P-ABC＝V_A-PBC＝·a²·a＝a³.

516. 　在三棱錐A-BCD中，ΔABC和ΔBCD都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，二面角A-BC-D＝φ，問(wèn)φ為何值時(shí)，三棱錐的全面積最大。

解析：S_ΔBAC＝S_ΔBCD＝a²為常量，所以三棱錐全面積的大小取決于S_ΔABD與S_ΔACD的大小，由于ΔABD≌ΔACD，所以只求S_ΔACD何時(shí)面積取最大值即可。∵S_ΔACD＝asin∠ACD，所以當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)面積最大，問(wèn)題得解。

解　 如圖，取BC中點(diǎn)M，連AM、DM，∴ΔABC和ΔBCD都是正三角形，∴∠AMD是二面角A-BC-D的平面角，∠AMD＝φ，又∵ΔABD≌ΔACD，且當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)，ΔACD和ΔABD面積最大，此時(shí)AD＝a，在ΔAMD中，由余弦定理cos∠AMD＝-，

∴當(dāng)φ＝π-arccos時(shí)，三棱錐A-BCD的全面積最大。

點(diǎn)評(píng)　 本題將求棱錐全面積的最大值，轉(zhuǎn)化為求ΔACD面積的最大值，間接求得φ角。

515.　 正三棱錐A-BCD，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱為2a，過(guò)點(diǎn)B作與側(cè)棱AC、AD相交的截面，在這樣的截面三角形中，求(1)周長(zhǎng)的最小值；(2)周長(zhǎng)為最小時(shí)截面積的值，(3)用這周長(zhǎng)最小時(shí)的截面截得的小三棱錐的體積與三棱錐體積之比.

解析：(1)沿側(cè)棱AB把正三棱錐的側(cè)面剪開(kāi)展成平面圖.如圖1，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，EF在直線BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理B′F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴＝，＝＝,∴DF＝a,AF＝a.又∵ΔAEF∽ΔACD，∴BB′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周長(zhǎng)的最小值為a.

(2)如圖2，∵ΔBEF等腰，取EF中點(diǎn)G，連BG，則BG⊥EF.∴BG＝＝＝a　 ∴S_ΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a².

(3)∵V_A-BCD＝V_B-ACD，而三棱錐B-AEF，三棱錐B-ACD的兩個(gè)高相同，所以它們體積之比于它們的兩底面積之比，即

＝＝＝

評(píng)析 　把曲面上的最短路線問(wèn)題利用展開(kāi)圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決，這是求曲面上最短路線的一種常用方法.本題中的四面體，其中任何一個(gè)面都可以做為底面，因而它可有四個(gè)底面和與之對(duì)應(yīng)的四條高，在解決有關(guān)三棱錐體積題時(shí)，需要靈活運(yùn)用這個(gè)性質(zhì).

514.　 已知三棱錐各側(cè)面與底面成60°角.底面三角形的各角成等差數(shù)列，且最大邊與最小邊是方程3x²-21x+13＝0的兩根.求此三棱錐的側(cè)面積和體積.

解析： 如圖，設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為a、b、c.則由條件知∠B＝60°，a+c＝7,ac＝，得b²＝a²+c²-2accosB＝(a+c)²-2ac(1+cosB)＝7²-2·(1+)＝36b＝6,由三角形面積公式，得acsinB＝pr(其中p為半周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓半徑)，求得r＝.

由于各側(cè)面與底面成的角相等，∴頂點(diǎn)在底面上的射影是三角形的內(nèi)心，且各側(cè)面上的高相等，∴h＝rtg60°＝·＝，h_側(cè)＝＝.故S_側(cè)＝(7+6)×＝ (平方單位)，V＝·acsinBh＝×××＝ (立方單位).

513.　 如圖，四棱錐的高為h，底面為菱形，側(cè)面VDA和側(cè)面VDC所成的二面角為120°，且都垂直于底面，另兩個(gè)側(cè)面與底面所成的角都是45°，求此棱錐的全面積.

解析：由面面垂直的性質(zhì)可證得VD⊥底面，因?yàn)镾_ΔVDA＝S_ΔVDC，∠ADC＝120°，DB是其平分線，而S_ΔVBC＝S_ΔVAB，所以全面積不難求得.

解　 由已知條件可得VD⊥底面ABCD，VD⊥DA，VD⊥DC，

∴∠ADC＝120°.

∵ABCD為菱形，

∴BD是∠ADC的平分線.

ΔADB和ΔDBC是全等的等邊三角形，取BC的中點(diǎn)E，

連DE，BC⊥DE，BC⊥VE，∴∠VED＝45°.

在直角ΔDEC中，EC＝DE·ctg60°＝h,BC＝h,VE＝h.

∴S_底＝BC·DE＝h·h＝h²,

S_ΔVBC＝S_ΔVAB＝·h·h＝h²,

S_ΔVAD＝S_ΔVDC＝h·h＝h².

∴S_全＝h²+h²+h²

　 ＝(2+)h²

評(píng)析：本題的關(guān)鍵是側(cè)面VDA和側(cè)面VDC都垂直于底面，則它們的交線VD⊥底面ABCD，從而∠ADC＝120°.