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正三棱錐A-BCD.底面邊長為a.側棱為2a.過點B作與側棱AC.AD相交的截面.在這樣的截面三角形中.求周長為最小時截面積的值.(3)用這周長最小時的截面截得的小三棱錐的體積與三棱錐體積之比. 解析:(1)沿側棱AB把正三棱錐的側面剪開展成平面圖.如圖1.當周長最小時.EF在直線BB′上.∵ΔABE≌ΔB′AF.∴AE＝AF.AC＝AD.∴B′B∥CD.∴∠1＝∠2＝∠3.∴BE＝BC＝a.同理B′F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′.∴＝.＝＝,∴DF＝a,AF＝a.又∵ΔAEF∽ΔACD.∴BB′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周長的最小值為a. (2)如圖2.∵ΔBEF等腰.取EF中點G.連BG.則BG⊥EF.∴BG＝＝＝a ∴SΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a2. (3)∵VA-BCD＝VB-ACD.而三棱錐B-AEF.三棱錐B-ACD的兩個高相同.所以它們體積之比于它們的兩底面積之比.即 ＝＝＝ 評析 把曲面上的最短路線問題利用展開圖轉化為平面上兩點間距離的問題.從而使問題得到解決.這是求曲面上最短路線的一種常用方法.本題中的四面體.其中任何一個面都可以做為底面.因而它可有四個底面和與之對應的四條高.在解決有關三棱錐體積題時.需要靈活運用這個性質. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)


同步練習冊答案
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