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592. 直線上有兩點到平面α的距離相等，這條直線和平面α的位置如何？

解析：(1)若直線上的兩點到平面α的距離都等于0，這時直線在平面α內(如圖)

(2)若直線上的兩點在平面α的兩側,且到平面α的距離相等,這時直線與平面α相交(如圖)．

(3)若直線l上的兩點在平面α的同一側，且到平面α的距離相等(如圖)．

∵AA₁⊥α于點A₁，BB₁⊥α于點B₁．又 A、B均在l上，且在α的同側．∴AA₁ BB₁

∴AA₁BB₁為一平行四邊形．∴AB∥A₁B₁ ∴這時直線l與平面α平行．

想一想：若直線l上各點到平面α的距離都相等，那么直線l和平面α的位置關系又怎樣？

591. 兩個惟一性定理．

(1)過一點有且只有一條直線和一已知平面垂直

(2)過一點有且只有一個平面和一已知直線垂直

過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A，且垂直于直線a的平面內，試證之．

已知：A∈α，a⊥α于點O，AB⊥a．求證：

證明：假AB不在平面α內，連結AO．

∵a⊥α∴a⊥AO．又a⊥AB，且AO∩AB=A．

∴a垂直于相交直AO、AB所確定的平面β．

說明：　關于直線和平面垂直的問題中，有兩個基本作圖：

(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直．(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直．

這兩個基本作圖可作為公理直接使用．

590. 空間四邊形ABCD中，P、Q、R分別AB、AD、CD 的中點，平面PQR交BC于S , 求證：四邊形PQRS為平行四邊形。

　證明：∵PQ為AB、AD中點　 ∴PQ‖BD

　又PQ平面BCD ，BD平面BCD　 　∴　 PQ‖平面BCD

　又平面PQR∩平面BCD＝RS , PQ平面RQR 　∴　 PQ‖RS

　∵R為DC中點,∴ S為BC中點,∴PQ　　 RS　 ∴ PQRS 為平行四邊形

評述:靈活運用線面平行的判定定理和性質定理,“線線平行 線面平行”是證平行關系的常用方法。

變式題：如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH是平行四邊形．求證：AB∥平面EFG．

證明　∵面EFGH是截面．∴點E，F，G，H分別在BC，BD，DA，AC上．∴EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．又　 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB∴EH∥AB．

∴AB∥面EFG．

589. 已知直線a∥b，c∩a=A，c∩b=B。求證：a、b、c在同一平面內。

證明：∵a∥b

　　　 ∴經過a、b可確定一個平面α

　　　 ∵c∩a=A，∴A∈a，而aα

　　　 ∴A∈α，同理B∈α

　　　 則ABα，即c α

　　　 ∴a、b、c在同一平面α內

點評：利用a∥b，可確定平面α，易證c α。若利用c∩a=A，也可確定平面α，但證bα就較困難。因此，選擇恰當的點或線確定平面是非常重要的。

588. 在四面體ABCD中，已知點M，N，P分別在棱AD，BD，CD上，點S在平面ABC內，畫出線段SD與過點M，N，P的截面的交點O。

解析：圖中，SD與平面MNP的交點O點畫在△MNP內的任何位置好象都“象”，即直觀上不能直接看出畫在何處才是準確的。采用上一題的思想方法，找出經過直線SD的平面，如平面ASD(平面CSD…)，作出它與平面MNP的交線。

解：連接AS交BC于E，連ED交NP于F，連MF。

∵M∈AD，AD平面AED，

∴M∈平面AED

∵F∈ED，ED平面AED，

∴F∈平面AED

又M∈平面MNP，F∈平面MNP，

∴平面AED∩平面MNP=MF

∵O∈SD，SD平面AED，

∴O∈平面AED，又O∈平面MNP

則O∈MF

即O為MF與SD的交點。

587. 四面體ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC，則∠BAC+∠CAD+∠DAB=　　　　　 。

解析：180°

四個三角形均是全等的三角形，故所求三個角即其中任一三角形的三個內角

586. 正方體的12條面對角線所在的直線中，互相異面的直線共有　　　 對。

解析：30

面對角線中，與AC相交的有5條，平行的有1條，(自身為1條)故與AC異面的直線有12-5-1-1=5(條)。

則共有12×5×=30(對

585. 空間兩個角α和β，若α和β的兩邊對應平行，當α=50°時，β=　　　　　　 。

解析：50°或130°

β與α相等或互補

584. 下面的三個命題：①四邊相等的四邊形是菱形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③若四邊形有一組對角都是直角，則這個四邊形是圓的內接四邊形。

其中正確命題的個數是：(　　 )

　 A、1個　　　　　　 B、2個　　　　　 C、3個　　　　　 D、0個

解析：D

均不能保證它們是平面圖形，故均不正確，選D

583. 如圖，α∩β=C，aα，a∩c=A，bβ，b∩c=B，A、B為不同點。則a與b的位置關系為(　　 )

　 A、平行

　 B、異面

　 C、平行、異面均可能

　 D、平行、相交、異面均可能

解析：B

符合兩條異面直線的判定，選B