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452.　 求棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對角線A₁C₁與AB₁的距離.

解法一：連結BD₁，取A₁B₁的中點E，連BE交AB₁于M，連D₁E交A₁C₁于N，連MN.

因為ΔA₁NE∽ΔC₁ND₁，所以＝＝，

則＝，同理＝.

∵＝.∴MN∥BD₁.

由三垂線定理知BD₁與A₁C₁、AB₁都垂直，故MN為兩對角線的公垂線，

又ΔEMN∽ΔEBD₁

故＝＝.∴MN＝a.

解法二：取A₁M＝，B₁N＝，過N作NP⊥A₁B₁于P，連MP，則ΔMPN為直角三角形，由計算，PM＝a,PN＝a,故MN＝a.又A₁N＝a，A₁M＝a,故A₁N²＝A₁M²+MN²，于是MN⊥A₁C₁；同理，由AN＝a,AM＝a,MN＝a可知MN⊥AB₁.故MN為AB₁與A₁C₁的公垂線段，從而AB₁與A₁C₁的距離為a.

解法三：可轉化為求平行平面間的距離.連A₁D，C₁D，A₁C₁，B₁C.易知A₁D∥B₁C，A₁C₁∥AC.故平面A₁DC₁∥平面AB₁C.連BD₁，設與平面A₁DC₁交于M，與平面AB₁C交于N.因BD₁與圖中所示6條面對角線都垂直，故BD⊥面A₁DC₁，也垂直于AB₁C.即MN是A₁C₁與AB₁的距離，在RtΔD₁DB中，D₁M＝＝a，而同理可求BN＝a，故

MN＝a-a-a＝a.

說明　 上例還可以利用直線與平面平行、體積轉換等方法求解.

451.　 如圖1，線段AB平面α，線段CD平面β，且平面α∥平面β，AB⊥CD，AB＝CD＝a,α、β的距離為h，求四面體ABCD的體積.

圖1 　　　　　　　　　　　　　　　　圖2

解析：依題意可構造一個底面對角線長為a，高為h的正四棱柱(如圖2).

顯然，正四棱柱的底面邊長為a.其體積為

V_柱＝(a)²h＝a²h.

而三棱錐C-AC′B的體積為

V_錐＝V_柱.

故四面體ABCD的體積為

V＝V_柱-4V_錐＝V_柱-V_柱

＝V_柱＝a²h.

說明　 本題運用了“構造輔助體”的解題技巧.

450. 四面體對棱長分別相等，分別是a,b,c.求體積.

解析： 把四面體“嵌入”棱長為x,y,z的長方體(如圖).其充分條件是

有實數解

如果關于x,y,z的方程組有實數解，則四面體體積

V＝xyz-4··(xy)·z＝xyz

＝

說明　 對棱相等的四面體各面是全等的銳角三角形，本題采用了體積分割法，轉化法求體積.

449. PA、PB、PC是從點P出發的三條射線，每兩條射線的夾角為60°，求直線PC與平面PAB所成的角的余弦值．

解析：如圖答9-22，在PC上任取一點D，作DH⊥平面PAB于H，則∠DPH為PC與平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，連結PH，DE，DF．∵　 EH、FH分別為DE、DF在平面PAB內的射影，由三垂線定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵　 ∠DPE=∠DPF，∴　 △DPE≌△DPF．∴　 PE=PF．∴　 Rt△HPE≌Rt△HPF，∴　 HE=HF，∴　 PH是∠APB的平分線．設EH=a，則PH=2EH=2a，．在Rt△PDE中，∠DPE=60°，DE⊥PA，∴　 ．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，，∴　

448. 如圖9-32，△ABD和△ACD都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求證：

圖9-32

　(1)BD⊥平面ADC；

　(2)若H是△ABC的垂心，則H為D在平面ABC內的射影．

解析：(1)設AD=BD=CD=a，則．∵　 ∠BAC=60°，∴　 ．由勾股定理可知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵　 BD⊥AD，AD∩DC=D，∴　 BD⊥平面ADC．

　(2)如圖答9-21，要證H是D在平面ABC上的射影，只需證DH⊥平面ABD．連結HA、HB、HC．∵　 H是△ABC的垂心，∴　 CH⊥AB．∵　 CD⊥DA，CD⊥BD，∴ 　CD⊥平面ABD，∴　 CD⊥AB．∵　 CH∩CD=C，∴　 AB⊥平面DCH．　 ∵　 DH平面DCH，∴　 AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵　 AB∩BC=B，∴　 DH⊥平面ABC．

447. 如圖9-31，SA、SB、SC三條直線兩兩垂直，點H是S在平面ABC上的射影，求證：H是△ABC的垂心．

解析：∵　 SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴　 SC⊥平面SAB，∴　 AB⊥SC．∵　 H是S在平面ABC上的射影，∴　 SH⊥平面ABC．連結CH，CH為SC在平面ABC上的射影，∵　 AB⊥SC，由三垂線定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH為AB的垂線．同理AH⊥BC，即AH為BC邊的垂線．H為△ABC兩條垂線的交點，∴　 H為△ABC垂心．

446. 如圖9-30，直線a、b是異面直線，它們所成角為30°，為a、b的公垂線段，．另有B在直線a上，且BA=2cm，求點B到直線b的距離．

解析：如圖答9-20，過作，則與b確定平面a ．作于C，在平面a 內作CD⊥b于D，連結BD．∵　 ∴　 ．　 ∵　 ，，∴　 ．∵　 ，∴　 BC⊥a ．∵　 CD⊥b，∴　 BD⊥b(三垂線定理)，即BD為B點到b的距離．∵　 ，∴　 為異面直線a與b所成的角，∴　 ．∵　 ，，∴　 CD=1．在Rt△BCD中，，CD=1，∠BCD=90°，∴　 ，∴　 ．

445. 如圖9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點．求證：MN⊥AB．

圖9-29

解析：連結AC，取AC中點O，連結OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．

444. 已知正方體．則

　(1)與平面ABCD所成的角等于________；

　(2)與平面ABCD所成的角的正切值等于________；

　(3)與平面所成的角等于________ ；

　(4)與平面所成的角等于________；

　(5)與平面所成的角等于________.

解析：(1)∵　 ⊥平面ABCD，∴　 為與平面ABCD所成的角，

=45°．

　(2)∵　 ⊥平面ABCD，∴　 為與平面ABCD所成的角．設，則，∴　

　(3)∵　 平面，，∴　 ∥平面，∴　 與平面所成的角為0°．

　(4)∵　 ⊥平面，∴　 與平面所成的角為90°．

　(5)連結AC，交AD于H．連結，∵　 ⊥平面ABCD，CH平面ABCD，

∴　 ，又∵　 CH⊥BD，∴　 CH⊥平面．∴　 為在平面內的射影．∴　 為與平面所成的角．設正方體棱長為1，則，，∴　 ，即與平面所成的角為30°．

443. 設正方體的棱長為1，則

　(1)A到的距離等于________；

　(2)A到的距離等于________；

　(3)A到平面的距離等于________；

　(4)AB到平面的距離等于________．

解析：1)連接，AC，則，取的中點E，連結AE，則．

∴　 AE為點A到直線的距離，在Rt△ACE中，，，　

∴　 ，∴　 ．即A到、C的距離等于．

(2)連結．∵　 AB⊥平面，∴　 ．在Rt△中，AB=1，，，設A到的距離為h，則．即

，∴　 ，即點A到的距離為．

　(3)連結交于F，則．∵　 CD⊥平面，且AF平面，∴　 CD⊥AF．∵　 CD∩AD=D，∴　 AF⊥平面．∴　 AF為點A到平面的距離．∵　 ，∴　 ．

　(4)∵　 AB∥CD，∴　 AB∥平面，∴　 AB到平面的距離等于A點

到平面的距離，等于．