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82. 兩個平面同時垂直于一條直線，則兩個平面平行．

已知：a、b是兩個平面，直線l⊥a，l⊥b，垂足分別為A、B．

求證：a∥b思路1：根據判定定理證．

證法1：過l作平面g ，

a∩g＝AC，b∩g＝BD，

過l作平面d，

a∩d＝AE，b∩d＝BF，

l⊥al⊥AC

l⊥bl⊥BD　　　 AC∥BDAC∥b，

l、AC、BD共面

同理AE∥b，AC∩AE≠f ，AC，AEa ，故a∥b．

思路2：根據面面平行的定義，用反證法．

證法2：設a、b有公共點P

則l與P確定平面g，

且a∩g＝AP，b∩g＝BP．

l⊥al⊥AP

l⊥bl⊥BP

l、AP、BP共面，于是在同一平面內過一點有兩條直線AP、BP都與l垂直，這是不可能的．

故a、b不能有公共點，∴ a∥b．

81. 有三個幾何事實(a，b表示直線，表示平面)，① a∥b，② a∥，③ b∥．其中，a，b在面外．

用其中兩個事實作為條件，另一個事實作為結論，可以構造幾個命題？請用文字語言敘述這些命題，并判斷真偽．正確的給出證明，錯誤的舉出反例．

解析：Ⅰ： a∥b

　　 　　a∥　 b∥

　　 b在外

Ⅱ：a∥b

　　 b∥　 a∥

　 a在外

Ⅰ、Ⅱ是同一個命題：兩條平行直線都在一個平面外，若其中一條與平面平行，則另一條也與該平面平行．

證明：過a作平面與交于

∵ a∥

∵ a∥

而a∥b

∴ b∥且b在外，在內

∴ b∥．

Ⅲ：a∥

　　　　　　 a∥b

　　 b∥

命題：平行于同一個平面的兩條直線平行，

這是錯的，如右圖

80. 　已知：平面與平面相交于直線a，直線b與、都平行，求證：b∥a．

證明：在a上取點P，b和P確定平面設與交于，與交于

∵ b∥且b∥

∴ b∥且b∥

∴ 與重合，而， ，實際上是、、a三線重合，

∴ a∥b．

79. 如圖，已知a、b是兩條相互垂直的異面直線，其公垂線段AB的長為定值m，定長為n(n>m)的線段PQ的兩個端點分別在a、b上移動，M、N分別是AB、PQ的中點。

　 　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)求證：AB⊥MN；

　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)求證：MN的長是定值(14分)

解析：

78. 在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，G為CC₁的中點，O為底面ABCD的中心。

　 　　　　　　　　　　　　　　　　 求證：A₁O⊥平面GBD(14分)

解析：

77. ．如圖，ABCD為正方形，過A作線段SA⊥面ABCD，又過A作與SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求證：E、H分別是點A在直線SB和SD上的射影。(12分)

解析：

76. 如圖，已知

　　　 求證a∥l

解析：

75. 設P、Q是單位正方體AC₁的面AA₁D₁D、面A₁B₁C₁D₁的中心。

　 　　　　　　　　　　　　　　　　 如圖：(1)證明：PQ∥平面AA₁B₁B；

　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)求線段PQ的長。(12分)

評注：本題提供了兩種解法，方法一，通過平行四邊形的對邊平行得到“線線平行”，從而證得“線面平行”；方法二，通過三角形的中位線與底邊平行得到“線線平行”，從而證得“線面平行”。本題證法較多。

74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.

(1)求證：MN⊥CD；

(2)若∠PDA=45°，求證MN⊥面PCD.(12分)

解析：

71. 球面上有三個點A、B、C. A和B，A和C間的球面距離等于大圓周長的. B和C間的球面距離等于大圓周長的.如果球的半徑是R，那么球心到截面ABC的距離等于 　　 　解析：本題考查球面距離的概念及空間想像能力.

　　 如圖所示，圓O是球的大圓，且大圓所在平面與面ABC垂直，其中弦EF是過A、B、C的小圓的直徑，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距離，OE是球的半徑，因此，欲求OD，需先求出截面圓ABC的半徑.　

　 下一個圖是過A、B、C的小圓.AB、AC、CB是每兩點之間的直線段.它們的長度要分別在△AOB、△AOC、△COB中求得(O是球心).由于A、B間球面距離是大圓周長的，所以∠AOB=×2π=，同理∠AOC=，∠BOC=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴|AB|=R， |AC|=R， |BC|=. 　　 在△ABC中，由于AB²+AC²=BC². 　　 ∴∠BAC=90°,BC是小圓ABC的直徑. 　　 ∴|ED|= 　　 從而|OD|=. 　　 故應選B. 72. 如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，該圖中，互相垂直的面有 　 A.4對 　 B.5對　 C.6對 　 D.7對 　答案(D) 　解析：要找到一個好的工作方法，使得計數時不至于產生遺漏 73. ABCD是各條棱長都相等的三棱錐.M是△ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于______ 　

解析：90°連CM交AB于N，連DN，易知N是AB中點，AB⊥CN，AB⊥DN.