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502. 在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，得到四邊形EFGH．

　(1)四邊形EFGH是______________；

　(2)當對角線AC＝BD時，四邊形EFGH是______________；

　(3)當對角線滿足條件______________時，四邊形EFGH是矩形；

　(4)當對角線AC、BD滿足條件_______時，四邊形EFGH是正方形．

解析：(1)由三角形中位線定理可知EFAC，HGAC，于是EFHG，故四邊形EFGH為平行四邊形；

　(2)當AC＝BD時，由EF＝AC，EH＝BD，得EF＝EH，即平行四邊形EFGH的鄰邊相等，故平行四邊形EFGH為菱形；

　(3)要使平行四邊形EFGH為矩形，需且只須一個角是直角．如需EF⊥FG，則AC⊥BD；

　(4)要使平行四邊形EFGH為正方形，需且只須AC⊥ BD，且AC＝BD；

501. 在長方體ABCD－中，AB＝2，，M、N分別是AD、DC的中點．

　(1)證明∥；

　(2)求異面直線MN與所成角的余弦值．

解析：(1)∵　 ∥∥，＝＝，∴　 是平行四邊形，∴AC∥，又MN∥AC，因此，MN∥．

　(2)由(1)，是異面直線MN與所成角．在△中，，．于是有．

500. 如圖9－16，在棱長為a的正方體ABCD-中，求異面直線AC和的距離．

解析：連結交于，連結BD交AC于O，連結，在矩形中，是中點，O是AC中點，則于O．同理于，∴　 是異面直線AC和的公垂線．∵　 ＝＝a，∴　 AC與間的距離為a．

499. 如圖9－15，已知A是平面BCD外一點，滿足AC＝BD，M、N、P、Q分別是BC、CD、DA、AB的中點．求證：QN⊥PM．

解析：在△ABC中，∵　 Q是AB中點，M是BC中點，∴　 MQ∥AC，且MQ＝AC，同理PN∥AC，且PN＝AC．∴　 QMPN．∴　 四邊形MNPQ是平行四邊形，又 ∵ PQ＝BD，QM＝AC，AC＝BD，∴　 PQ＝QM，∴　 平行四邊形MNPQ是菱形，∴　 QN⊥PM．

498. 如圖9－13，P是平面ABC外一點，PA＝4，，D、E分別為PC和AB的中點，且DE＝3．求異面直線PA和BC所成角的大小．

解析：取AC中點F，連結DF、EF，在△PAC中，∵　 D是PC中點，F是AC中點，則DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴　 ∠DFE為異面直線PA與BC所成的角．在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，∴　 ，∴ ∠DFE＝90°，即異面直線PA與BC所成的角為90°．

497. 如圖9－12，O是平面ABC外一點，、、分別在線段OA、OB、OC上，且滿足，．求證：△ABC∽△．

解析：∵　 ，，∴　 .在△AOB中，由，∴　 ∥AB，同理∥BC，∵　 與∠ABC方向相同，∴　 ＝∠ABC，同理＝∠BAC，∴　 △∽△ABC．

496. 如圖9－11，在正方體ABCD-中，E、F分別是棱、的中點，求證：EF∥BD，且．

解析：連結．∵　 ∥，∴　 四邊形是平面圖形，又∵＝，∴　 四邊形是平行四邊形，∴　 BD，在△中，∵　 E、F分別是與的中點，∴　 EF，由公理4有EF∥BD，且有．

495. 已知m、n為異面直線，m平面a，n平面b，a∩b＝l，則l(　)．

　A．與m、n都相交　　　　　　　 B．與m、n中至少一條相交

　C．與m、n都不相交　　　　　　 D．至多與m、n中的一條相交

解析：B．可參看下列圖形：

494. 三條直線共面的條件可以是(　)．

　A．這三條直線兩兩平行B．這三條直線交于一點

　C．這三條直線中的一條與另外兩條都相交

　D．這三條直線兩兩相交，但不交于一點

解析：D．可參看下列圖形：

493. 在正方體ABCD-中，與對角線異面的棱有(　)．

　A．3條　　　　 B．4條　　　　 C．6條　　　　　 D．8條

解析：C．如圖答9－10，把正方體的幾條棱分為三類，在平面上的四條棱中有、與異面，在平面ABCD上的四條棱中有AD、CD與異面，上下兩底面之間的四條棱中，有、與是異面直線，故與異面的棱共6條．