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25．(福建卷)每次拋擲一枚骰子(六個面上分別標以數字

(I)連續拋擲2次，求向上的數不同的概率；

(II)連續拋擲2次，求向上的數之和為6的概率；

(III)連續拋擲5次，求向上的數為奇數恰好出現3次的概率。

本小題主要考查概率的基本知識，運用數學知識解決實際問題的能力。滿分12分。

解：(I)設A表示事件“拋擲2次，向上的數不同”，則

答：拋擲2次，向上的數不同的概率為

(II)設B表示事件“拋擲2次，向上的數之和為6”。

向上的數之和為6的結果有、、、、　5種，

答：拋擲2次，向上的數之和為6的概率為

24．(北京卷)某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.

方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；

方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.

假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是0.5，0.6，0.9，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.求：

(Ⅰ)該應聘者用方案一考試通過的概率；

(Ⅱ)該應聘者用方案二考試通過的概率.

解：記該應聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A，B,C，

則P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9.

(Ⅰ) 應聘者用方案一考試通過的概率

　 p₁=P(A·B·)+P(·B·C)+P(A··C)+P(A·B·C)

　　 =0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9

=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.

(Ⅱ) 應聘者用方案二考試通過的概率

　 p₂=P(A·B)+P(B·C)+ P(A·C)

　　 =×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)=×1.29=0.43

23．(北京卷)某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.

　　 方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；

　　 方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.

　　 假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.

　　 (Ⅰ)分別求該應聘者用方案一和方案二時考試通過的概率；

　　 (Ⅱ)試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)

解：設三門考試課程考試通過的事件分別為A，B，C，相應的概率為a，b，c

(1)考試三門課程，至少有兩門及格的事件可表示為AB+AC+BC+ABC，設其概率為P₁，則P₁＝ab(1－c)+a(1－b)c+(1－a)bc+abc＝ab+ac+bc－2abc

設在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格的概率為P₂，則P₂＝ab+ac+bc

(2)P₁－P₂＝(ab+ac+bc－2abc)－(ab+ac+bc)＝ab+ac+bc－2abc

＝(ab+ac+bc－3abc)＝(ab(1-c)+ac(1－b)+bc(1－a))>0

\P₁>P₂即用方案一的概率大于用方案二的概率.

22．(安徽卷)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。

(Ⅰ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率；

(Ⅱ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率；

解：設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的事件為A，“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3”的事件為B

(Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2種：、，故。

(Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1種：；芳香度之和等于2的取法有1種：，故。

21．(安徽卷)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和。

(Ⅰ)寫出的分布列；(以列表的形式給出結論，不必寫計算過程)

(Ⅱ)求的數學期望。(要求寫出計算過程或說明道理)

解：(Ⅰ)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P

(Ⅱ)

20．(上海春)同學們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級的平均分將降低；反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級的平均分將提高. 這兩個事實可以用數學語言描述為：若有限數列 滿足，則　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (結論用數學式子表示).

解：如果在有限數列 中，按順序去掉一些高分 ，那么有不等關系 ； 如果在有限數列 中，按順序去掉一些低分 ，那么有不等關系 ．從而應填 ，與 ． 三、解答題(共27題)

19．(四川卷)設離散型隨機變量可能取的值為1，2，3，4。(1，2，3，4)。又的數學期望，則　　　 　;

解：設離散性隨機變量可能取的值為，所以

，即，又的數學期望，則，即，,∴ .

18．(上海卷)在一個小組中有8名女同學和4名男同學，從中任意地挑選2名同學擔任交通安全宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學的概率是______(結果用分數表示)。

解：在一個小組中有8名女同學和4名男同學，從中任意地挑選2名同學擔任交通安全宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學的概率是.

17．(上海卷)兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本．將它們任意地排成一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是 　　　　　　　(結果用分數表示)．

解：分為二步完成： 1) 兩套中任取一套，再作全排列，有種方法；2) 剩下的一套全排列，有種方法；所以，所求概率為：；

16．(山東卷)某學校共有師生2400人，現用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本，已知從學生中抽取的人數為150，那么該學校的教師人數是　　　.

解：抽取教師為160-150=10人，所以學校教師人數為2400×=150 人。