湖南省岳陽市一中2009屆高三第六次月考
數 學 試 卷（理）
時量：120分鐘 分值：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知
是第二象限角，且
，則
的值是（ ）.
2．不等式
的解集是（ ）.
3．若點
到直線
的距離為
，且該點在不等式
所在平面區域內，則
的值為（ ）.
4．已知
，命題
：關于
的方程
沒有實數根，命題
：
，則命題是命題的（ ）.
充分不必要條件必要不充分條件 充要條件 既不充分又不必要條件
5．已知定義域為
的函數
在
上為減函數，且函數
為偶函數，則（ ）.
6．橢圓
的兩個焦點分別是
、
，等邊三角形的邊
、
與該橢圓分別相交于
、
兩點，且
，則該橢圓的離心率等于（ ）.
7．已知四面體的四個面的面積分別為
，記其中最大的為
，則
的取值范圍是（ ）.
8．如圖，在棱長為的正方體中
，
為
的中點，
為
上任意一點，
、
為
任意兩點，且
的長為定值，則下列的四個
值中不為定值的是（ ）.
點到平面
的距離
直線
與平面
所成的角
二面角
的大小
三棱錐
的體積
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分,把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.
9．設數列
的首項
，且滿足
，則
.
10．已知函數
，則
.
11．若兩個集合
與之差記作“
”，其定義為：
,如果集合
，集合
，則等于
.
12．直三棱柱
的各個頂點都在同一個球面上，若
，則、兩點之間的球面距離是
.
13．已知
中，
、
、
所對的邊分別為、
、
，且、、成等差數列，
、
，則頂點的軌跡方程為 .
14．平面直角坐標系內，動點
到直線
和
距離之和是，則
的最小值為
.
15．設
是半徑為
的球面上四個不同的點，且滿足
，
，
，則
的最大值為
.
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
已知函數
.
(1) 當
時，求的值域；
(2) 將的圖象按向量
平移，使得平移后的圖象關于原點對稱，求向量
.
17．（本小題滿分12分）
等比數列的首項
，前
項的和為
，且
、
、
成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）若
，數列
的前項和為
，當為何值時，取最大值.
18．（本小題滿分12分）
如圖，正四棱柱中，側棱長為，
底面邊長為，是棱
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的大小；
（3）在側棱
上是否存在點，使得
平面
？
證明你的結論.
19．（本小題滿分12分）
某工廠為解決職工的住房問題，計劃在市郊征用一塊土地，蓋一幢總建筑面積為
的宿舍樓，已知土地的征用費為
，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的
倍.經工程技術人員核算，第一、二層的建筑費用相同，且都為
，以后每層每增高一層，其建筑費用就增加
.試設計這幢宿舍的樓高層數，使總費用最少，并求其最少費用（總費用為建筑費用與征地費用之和）.
20．（本小題滿分13分）
已知
，且
.
（1）求證：方程
總有兩個正根；
（2）求不等式
的解集；
（3）求使
對于
恒成立的的取值范圍.
21．（本小題滿分14分）
已知橢圓
:
的左、右焦點分別為、，右頂點為，為橢圓上任意一點，且
的最大值的取值范圍是
，其中
.
（1）
求橢圓的離心率
的取值范圍；
（2）
設雙曲線
以的焦點為頂點，頂點為焦點，是雙曲線在第一象限內任意一點，當橢圓的離心率取最小值時，猜想是否存在常數
，使得
恒成立？若存在求出
的值；若不存在，請說明理由.
一、選擇題：BCDC DCAB
二、填空題：
9．153 10.
11.
12.
13.
14.
15. 8
三.解答題
16.(1)
,
,
(2)
17.(1)
(2)
,當
或13時，
18．（1）略 （2）
（3）若存在P，使
，矛盾。
19.
當
，即
時，
20.(1)
(2)
(3)
或
，又
21.(1)
(2)
先猜想（取特殊法位置）：
再證：
，對符合條件的B都成立。
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