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1、情境：現有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載.

時間

3月18日

4月18日

4月20日

日最高氣溫

3.5℃

18.6℃

33.4℃

觀察：3月18日到4月18日與4月18日到4月20日的溫度變化，用曲線圖表示為：

（理解圖中A、B、C點的坐標的含義）

問題1：“氣溫陡增”是一句生活用語，它的數學意義是什么？（形與數兩方面）

問題2：如何量化（數學化）曲線上升的陡峭程度？

二、學生活動

1、曲線上BC之間一段幾乎成了“直線”，由此聯想如何量化直線的傾斜程度。

2、由點B上升到C點，必須考察y_C―y_B的大小，但僅僅注意y_C―y_B的大小能否精確量化BC段陡峭程度，為什么？

3、在考察y_C―y_B的同時必須考察x_C―x_B，函數的本質在于一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量的改變。

三、建構數學

1．通過比較氣溫在區間[1，32]上的變化率0．5與氣溫[32,34]上的變化率7．4，感知曲線陡峭程度的量化。

2.一般地,給出函數f(x)在區間[x₁，x₂]上的平均變化率。實質是連接兩點直線的斜率

3．回到氣溫曲線圖中，從數和形兩方面對平均變化率進行意義建構。

4。平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應注意當x₂―x₁很小時，這種量化便有“粗糙”逼近“精確”。

四、數學運用

例1、某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率。

解：前三個月，平均體重變化率為=1（kg/月），第6個月到第12個月體重平均變化率為=0.4(kg/月)

說明：圖象問題，根據點的坐標求變化率

例2、水經過虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的體積               （單位：），

計算第一個10s內V的平均變化率。

解： =-0.01(cm³/s)即第一個10秒內容器甲中水的體積的平均變化率為-0.01cm³/s

說明：實際問題常常根據實際情況來確定其意義

例3、已知函數f（x）=2x+1，分別計算在區間[-3，-1]，[0，5]上f（x）及g（x）的平均變化率。

   解答：f(x)變化率均為2

思考：y=kx+b在區間[m，n]上的平均變化率有什么特點？能證明你的結論嗎？（都為k）

例4、已知函數，分別計算在下列區間上的平均變化率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

（4）[1，1.001]。

   解答：(1)4；(2)3；（3）2.1；  （4）2.001

   變形：已知函數， 在下列區間[1,1+](n∈N^*)上的平均變化率為a_n.(1)求{a_n}的通項公式；（2）當n→∞時，求數列{a_n}趨近的值（2+，2）

   練習：求證f(x)=x³在區間[m,m+δ]上的變化率恒正

練習：教材P7----1,2

五、小結

1、平均變化率 ：一般的，函數在區間[x₁，x₂]上的平均變化率。

２、平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化”，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化”．

3、y=kx+b在區間[m，n]上的平均變化率恒為k

六、作業：教材P16---1

[補充習題]

1、已知函數f(x)=x²-x在區間[1,t]上的平均變化率為2，則t=___________

2、已知函數f(x)=x²-tx在區間[1,2]上的平均變化率為2，則t=___________

3、計算f(x)=在區間[x₀,x₀+△x]上的平均變化率，其中x₀和x₀+△x都不為0

4、已知函數， 在下列區間[2,2+](n∈N^*)上的平均變化率為a_n.(1)求{a_n}的通項公式；（2）當n→∞時，求數列{a_n}趨近的值如果函數

5、f(x)在（-∞，+∞）上是增函數，那么f(x)在任意區間[x₁,x₂]上的平均變化率有什么特點？反之是否成立

[解答]1、2;  2、1;  3、-;    4、(1)4+;(2)4;  5、平均變化率恒正，反之也成立

[教后感想與作業情況]

1.1.2瞬時變化率

[教學目標]

[教學重點、難點]瞬時變化率的實際意義和數學意義

[教學過程]

1、什么叫做平均變化率；如何求函數f(x)在區間[x_A，x_B]上的平均變化率？

2、問題：在某一處的變化率如何求？（動畫顯示）

二、建構數學

1、曲線上一點處的切線斜率

不妨設P(x₁，f(x₁))，Q(x₀，f(x₀))，則割線PQ的斜率為，

設x₁－x₀=△x，則x₁ =△x＋x₀，

∴

當點P沿著曲線向點Q無限靠近時，割線PQ的斜率就會無限逼近點Q處切線斜率，即當△x無限趨近于0時，無限趨近點Q處切線斜率。

2、曲線上任一點(x₀，f(x₀))切線斜率的求法：

S1:計算函數值的增加量:△y=f(x₀+△x)-f(x₀)

S2: 計算平均變化率=

S3: 當△x無限趨近于0時，k值即為(x₀，f(x₀))處切線的斜率。

練習：P11---1,2

例1、已知f(x)=x²，求曲線在x=2處的切線的斜率

解：△y=f(2+△x)-f(x)=(2+△x)²-4=4△x+(△x) ², =4+△x,當△x→0時，f(x)=x²在x=2處的切線的斜率為4

練習1：求x=0,x=-2和x=3處的切線斜率（0，-4，-6分組求）

練習2：曲線y=x³在點P處切線斜率為k,當k=3時,P點的坐標為_________((1,1),(-1,-1))

練習3：曲線f(x)=|x|在(0,0)處，有無切線？有求出，無說明理由。（無，斜率不存在）

說明：不是任意一點都有斜率

3、瞬時變化率的實際意義

思考1：若S(t)為位移，按照上面辦法求得的瞬時變化率有什么實際意義？

（平均速度： 物理學中，運動物體的位移與所用時間的比稱為平均速度；位移的平均變化率：；瞬時速度：當無限趨近于0 時，無限趨近于一個常數，這個常數稱為t=t₀時的瞬時速度）

    思考2：若V(t)為速度，按照上面辦法求得的瞬時變化率有什么實際意義？

（當無限趨近于0 時，無限趨近于一個常數，這個常數稱為t=t₀時的瞬時加速度）

例2、已知一輛轎車在公路上作勻加速直線運動，假使t秒是的速度為V(t)=t²+3,求在t₀秒時的即時加速度

解：===2t₀+△t,當△t→0時，→2t₀, 在t₀秒時的即時加速度為2t₀變形練習：求t₀=2秒時的瞬時加速度       （4）

練習：教材P13---1,2

S2: 計算平均變化率=

S3: 當△x無限趨近于0時，k值即為(x₀，f(x₀))處的變化率

2、瞬時變化率的意義：(1)實際意義：在該處切線的斜率；(2)實際意義：位移對時間的瞬時變化率為瞬時速度；速度對時間的瞬時變化率為瞬時加速度

[補充習題]

1、曲線y=x²上切線傾斜角為45⁰的點是____________

2、求y=在點(1,1)處的切線方程

3、一物體運動方程為s=t³-3t²,比較t=a和t=a+1時的速度的大小

[解答]

1、；  2、x-2y+1=0；   3、a>時，a+1時速度大；a=時一樣大；a<時，a+1時速度小

[教后感想與作業情況]

1.1.2導數的概念

[教學目標]

[教學重點難點]導數的求解方法和過程；2、導數符號的靈活運用

[教學過程]

一、情境引入

在前面我們解決的問題：

1、求函數在點（2，4）處的切線斜率。

，故斜率為4      

2、直線運動的汽車速度V與時間t的關系是，求時的瞬時速度。

，故斜率為4  

上述兩個函數和中，當()無限趨近于0時，()都無限趨近于一個常數。

歸納：一般的，定義在區間（，）上的函數，，當無限趨近于0時，無限趨近于一個固定的常數A，則稱在處可導，并稱A為在處的導數，記作或，

上述兩個問題中：（1），（2）

可以看出

在處的導數就是在處的切線斜率。

例1、函數，求f^./(1)與f^/(a)

解：（1）△y=f(1+△x)-f(1)=(1+△x)²+1-2=2△x+△x²,=2+△x,f^/(1)=2

(2)△y=f(a+△x)-f(a)=(a+△x)²-a²=2a△x+△x², =2a+△x²,f^/(a)=2a

練習1：計算[f(a)]^/,比較它與f^/(a)的區別

練習2：計算f^/(x),說明它是否為x的函數

一般的，的對于區間（,）上任意點處都可導，則在各點的導數也隨x的變化而變化，因而也是自變量x的函數，該函數被稱為的導函數，記作

例2、已知函數，求在處的切線。

解：[方法一]△y=f(2+△x)-f(2)=-=, =,當△x→0時， f^/(2)=；故切線方程為y-2=(x-)即x-4y+4=0

[方法二] （先求導數，再求2點的導數）△y=f(x+△x)-f(x)=-=, =,當△x→0時f^/(x)=, f^/(2)=；故切線方程為y-2=(x-)即x-4y+4=0

  說明：如果先求導數時，是先求一般導數式子，再代入；不是先代入后求導

例3、函數滿足，則當x無限趨近于0時，

（1）→                      

（2）→                      

解：(1)→f^/(1)=1

(2) =2→2f^/(1)=4

變式:設f(x)在x=x₀處可導，

（3）無限趨近于1，則=___________(4)

（4）無限趨近于1，則=________________(-4)

課堂練習課本第15頁練習1、2、3

一個概念：在某一處的導數就是在該處的變化率，符號為或；

兩個求法：一直接按變化率的步驟求，二先求一般的再代入

[補充習題]

1、函數y=f(x)的圖象在x=處的切線方程為6x+2y-3=0,則f()=_________,f^/()=_______

2、求y=的導數

3、設函數y=f(x)在點x處可導，a、b為常數，當△x→0時→_____

4、根據x→0時，→1，求函數y=sinx的導數

[答案]1、-3，-3；2、；3、(a+b)f^/(x)；4、cosx

教后思考與作業情況：