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1. 拋物線定義：

平面內與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線

思考1：拋物線定義中，Fl,當F∈l時，軌跡是什么？（過F垂直于l的直線）

思考2：拋物線的離心率是多少？（橢圓、雙曲線、拋物線統稱圓錐曲線，橢圓離心率為e∈(0,1)，雙曲線離心率為e∈(1,+∞),拋物線只能為1。到定點距離與到定直線距離的比就是離心率）

問題3：怎樣得到拋物線的方程？

2．推導拋物線的標準方程：

如圖所示，建立直角坐標系系，設|KF|=（>0）,那么焦點F的坐標為，準線的方程為，

設拋物線上的點M（x,y），則有

化簡方程得

   方程叫做拋物線的標準方程

（1）它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是

p為焦點到準線的距離，簡稱焦準距

   （2）一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下 

圖形

方程

焦點

準線

   說明：如果不考慮p的正負，則拋物線標準方程有兩種形式y²=2ax,y²=-2ax

   思考：y=ax²的焦點坐標和準線方程各是什么？（焦點（0，）,準線x=-）

   練習：教材P45----練習題

   例：M為拋物線y²=4x上一點，F為其焦點，（1）MF=6,求M的坐標；(2)若A(2,2),MF+MA最小，求M的坐標

   解：(1)設M(x,y),

[方法一]則，解得M(5,±2)

[方法二]拋物線準線為x=-1,MF等于M到準線的距離x+1=6,x=5,代入拋物線方程得M(5,±2)

(2)設M到準線距離為d,則MF+MA=d+MA,從而自A向準線作垂線，與拋物線交點即為點M,M(1,2)

[補充習題]

1、若點A是定直線l外一定點，則過點A且與l相切的圓的圓心的軌跡是_______________

2、點M到點（0，8）的距離比它到直線y＝－7的距離大1，則M點的軌跡方程是________．

3、拋物線y²＝16x上的一P到x軸的距離為12，焦點為F，求PF=____

4、已知拋物線y²＝x上的點M到準線的距離等于它到頂點的距離，求P點的坐標．

5、求過點(t²,t)(t≠0)的拋物線方程

[答案]

1、以A為焦點，l為準線的拋物線

2、x²=32y(將y=-7向下平移一個單位得到y=-8,M到它的距離與到點(0,8)的距離相等)

3、13

4、（，）

5、x²=t³y或y²=x

[教后感想與作業情況]

2.4.2拋物線的幾何性質

[教學目標]

[教學重點]拋物線的幾何性質。

[教學難點]拋物線的幾何性質的應用。

教學過程：

二、建構數學

先根據拋物線的標準方程研究拋物線的幾何性質

1、范圍：x≥0

2、對稱性

拋物線關于x軸對稱.我們把拋物線的對稱軸叫拋物線的軸.

3、頂點

拋物線和它的軸的交點叫拋物線的頂點.即坐標原點.

4、拋物線的幾何性質歸納

標準方程

圖  形

焦點坐標

準線方程

開口方向

向右

向左

向上

向下

對稱軸

x軸

y軸

頂點

坐標原點

觀察發現1：拋物線的對稱軸與其標準方程有什么聯系？（正好是標準方程中的一次項）

2：拋物線中，過焦點而垂直于軸直線與拋物線兩交點的線段稱拋物線的通徑，其長為多少？（2p）

3、拋物線有無漸近線？（無，當x的值增大時,也增大,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.(但應讓學生注意與雙曲線一支的區別,無漸近線).

三、數學運用

課堂練習：課本47頁練習1－3

例1、 汽車前燈的反光曲面與軸截面的交線為拋物線，燈口直徑為197mm，反光曲面的頂點到燈口的距離是69mm，由拋物線的性質可知，當燈泡安裝在拋物線的焦點處時，經反光曲面反射后的光線是平行光線，為了獲得平行光，應怎樣安裝燈泡？（精確到1mm）

解：如圖，在車燈的一個軸截面上建立坐標系，設拋物線方程為，燈應安裝在焦點F處。

在軸上取一點C，使OC=69cm，過C作x軸的垂線，交拋物線與A、B兩點，AB就是燈口的直徑，即AB=197，所以A點坐標為，將A點坐標代入方程，解得，它得焦點坐標約為。因此燈泡應該安裝在距頂點35mm處。

例2、正三角形的一個頂點位于坐標原點,另外兩個頂點在拋物線上,求這個正三角形的邊長.

分析:觀察圖正三角形及拋物線都是軸對稱圖形,如果能證明x軸是它們的公共的對稱軸,則容易求出三角形的邊長.

解：如圖,設正三角形OAB的頂點A、B在拋物線上,且坐標分別為,則：

,所以.

由此可得,,即線段AB關于x軸對稱,因為x軸垂直于AB,且

∠Aox=30°,所以.

說明:這個題目對學生來說,求邊長不困難,但是他們往往直觀上承認拋物線與三角形的對稱軸是公共的,而忽略了它的證明.教學時, 要提醒學生注意這一點。

例3、已知定點，試在拋物線上找一點N，求MN的最小值，并求相應的點N的坐標

解： 設，則,＝x₁²-2(a-p)x₁+a²

（1）       當即時，，取最小值，此時

（2）       當即時，，取最小值，此時

MN_min=

   [補充習題]

1、點(x,y)在拋物線y²=4x上，則z=x²++3的最小值是_______，到直線2x-y-4=0距離最小的點的坐標為_________________

2、已知拋物線的頂點為橢圓=1（a>b>0）的中心，拋物線的焦點為橢圓的一個焦點，橢圓的離心率e=,有拋物線與橢圓交于點M(,-)，求橢圓與拋物線的方程

3、已知點F為拋物線y²=4x的焦點，點A、B是拋物線上兩點，三角形AFB是正三角形，求該三角形的邊長

[答案]

1、3；(,±1)

2、+=1，y²=4x

3、8±4

[教后感想與作業反饋]

                        2.4.2（2）拋物線性質的應用

教學目標

教學重點

會利用拋物線的標準方程和幾何性質處理一些簡單的問題；

教學難點

分析問題解決問題能力的培養。

教學過程

教學內容

一、復習引入

拋物線的幾何性質（范圍、對稱性、頂點、開口方向、通徑）

二、數學運用

例1．已知拋物線頂點在原點，對稱軸為x軸，拋物線上的點(x₀，-8)到焦點的距離等于17，求拋物線方程.

分析  設方程為y²=2px(p＞0)或y²=-2px(p＞0)

則  x₀+=17或-x₀=17       即  x₀=17-或x₀=-17

將(17-，-8)代入y²=2px      解得  p=2或p=32

將(-17，-8)代入y²=-2px     解得  p=2或p=32

∴所求拋物線方程為y²=±4x或y²=±64x.

說明：注意解題過程中用待定系數法的步驟：設――算――回

例2．  已知拋物線y²=2px上兩點A、B，BC⊥x軸交拋物線于C，AC交x軸于E，BA延長交x軸于D，求證：O為DE中點.

分析  只需證出D、E兩點的橫坐標互為相反數即可，設A，B   ，設D，E,由A,B,D三點共線得（斜率相等或向量共線）：x_D=x₁-=-=-=，同理，由A,C,E共線得： （以-y₂代替y₁）     即O為DE中點.

說明：計算中注意先化簡后求值，同理時注意其代換規律

例3．       已知直線L過點A（）且與拋物線只有一個公共點，求直線L的方程。

分析   設直線方程為：代入拋物線方程化簡得：

（1）       當時，方程組有且只有一解，所以直線與拋物線只有一個公共點；

  直線方程為：

（2）       當時，由得或直線方程為：或

總之，直線方程為y-1=0或2x+2y+1=0或2x-6y+0=0

說明：直線l與拋物線C:(  )²=±2p(    )交點，看其公共方程mx²+nx+q=0或my²+ny+q=0,則△=n²-4mq,于是：l與C相交于兩點；相交于一點m=0l與C的對稱軸重合或平行；相切于一點；相離

例4．       過拋物線的頂點作兩條互相垂直的弦OA，OB，證明：AB與拋物線的對稱軸交于定點。

分析  可分別設OA,OB所在的直線方程為：和（）由 解得A ，同理可得B（以-代替其中的k）,直線AB的方程：=，另y=0解得與X軸交于一定點

[補充習題]

1、拋物線y²=6x,過點P(4,1)引一弦，使它恰好在點P平分，則此弦所在的直線方程為________

2、直線y=x+b與拋物線y²=-3x交于A、B兩點，且線段中點的橫坐標為-2，則b=__________

3、拋物線x²=4y,過焦點F傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB的長為__________

4、拋物線頂點在原點，坐標軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16，則拋物線方程為_______

5、設O為原點，拋物線y²=2x與過焦點的直線交于A、B兩點，求

6、拋物線y²=2px(p>0),點P(1,2)、A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)都在拋物線上（1）求拋物線方程；（2）當PA、PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y₁+y₂的值及直線AB的斜率

[答案]

1、3x-y-11=0

2、1/2

3、8

4、x²=±16y

5、-

6、(1)y²=4x;   (2)-1

[教后感想與作業情況]