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1．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）

    A．    B．    C．  D．

2．若函數(shù)的反函數(shù)為，則等于（    ）

    A．   B．   C．    D．

3．在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前13項(xiàng)的和等于（    ）

    A．13      B．26    C．8     D．16

4．復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）

    A．實(shí)軸上    B．虛軸上   C．第一象限   D．第二象限

5．已知正三棱錐中，一條側(cè)棱與底面所成的角為，則一個(gè)側(cè)面與底面所成的角為（    ）

    A．   B．   C．   D．

6．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)一定是（    ）

    A．奇函數(shù)                  B．偶函數(shù)

    C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)    D．非奇非偶函數(shù)

7．某市有6名教師志愿到四川地震災(zāi)區(qū)的甲、乙、丙三個(gè)鎮(zhèn)去支教，每人只能去一個(gè)鎮(zhèn)，則恰好其中一鎮(zhèn)去4名，另兩鎮(zhèn)各一名的概率為（    ）

      A．    B．      C．    D．

8．過(guò)圓上一點(diǎn)作切線(xiàn)與軸，軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（    ）

    A．    B．    C．    D．

9．某市學(xué)生的高考成績(jī)服從正態(tài)分布，平均成績(jī)，方差為，若全市高考錄取率為，則錄取分?jǐn)?shù)線(xiàn)為(已知) （    ）

    A．   B．    C．     D．

10．設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點(diǎn)，則的最大值為（    ）

    A．   B．    C．    D．

11．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）

    A．  B．  C．    D．

12．雙曲線(xiàn)的左準(zhǔn)線(xiàn)為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為、，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，焦點(diǎn)為，與的一個(gè)交點(diǎn)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（    ）

    A．     B．     C．     D．

第Ⅱ卷 (非選擇題  共90分)

13．若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都，則實(shí)數(shù)的值為        ．

14．若棱長(zhǎng)為的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則，兩點(diǎn)之間的球面距離為         ．

15．函數(shù)的最小值是          ．

16．給出以下四個(gè)命題：

    ①函數(shù)的最小值為2；

    ②在數(shù)列中，，是其前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足，則數(shù)列是等比數(shù)列；

    ③若，則函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)；

    ④若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的值為．

    則正確命題的序號(hào)是                 。

17．(本小題滿(mǎn)分10分)

18．(本小題滿(mǎn)分12分)

    在中，， ．

   (Ⅰ)求；

  (11)設(shè)的外心為，若，求，的值．

19．(本小題滿(mǎn)分12分)

    在四棱錐中，底面是

邊長(zhǎng)為2的菱形，，，

，是的中點(diǎn)．

    (Ⅰ)證明：平面；

    (Ⅱ)求二面角的大小．

    (Ⅲ)設(shè)是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的最大距離．

20．(本小題滿(mǎn)分12分)

    已知函數(shù)．

    (I)求的單調(diào)區(qū)間；

    (Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

21．(本小題滿(mǎn)分12分)

    已知兩點(diǎn)和分別在直線(xiàn)和上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足： (為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn)．

    (Ⅰ)求曲線(xiàn)的方程，并討論曲線(xiàn)的類(lèi)型；

    (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)、，若對(duì)于任意，都有為銳角，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍．

22．(本小題滿(mǎn)分12分)

    在數(shù)列中，，且．

    (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

    (Ⅱ)令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小；

    (Ⅲ)令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意都有

2009石家莊市高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)理科答案

1.A      2. B     3. A      4. B     5.D     6.A

7. B      8.A     9. C     10. D    11.B　  12.C

13．　            14．　      

15．  1                 16．③  ，④  

（小時(shí)）

,………………………7分

.…………………………………9分

18．(本題12分)

解: (Ⅰ)由余弦定理知:

,………2分

.……………5分

(Ⅱ)由,

知

…………………………………7分

為的外心，

.

同理.………………………………10分

即， 解得: ……12分

19．(本題12分)

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，.

四邊形為菱形,,

則……………2分

.

同理

故.……………………4分

（或用同一法可證）

（Ⅱ）先求二面角的大小

取的中點(diǎn)， 過(guò)作于點(diǎn)，

連結(jié).

則，

是二面角的平面角，……6分

可求得，

又

所以二面角的大小為.……………………8分

法二: 過(guò)作交于，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)、、

分別為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

則（0，0，0），，

（0，0，2），.

,.…………………6分

設(shè)平面的法向量為，

則

取=則.

設(shè)平面的法向量為，

則  取，

則.

＜，＞=，

二面角的大小為.……………………8分

（Ⅲ）先求點(diǎn)到平面的最大距離.

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為點(diǎn)到平面的距離. ……10分

過(guò)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)段,在所有的垂線(xiàn)段中長(zhǎng)度最大為.

為的中點(diǎn),

故點(diǎn)到平面的最大距離為1. ……………………12分

20.(本題12分)

解：（Ⅰ）

（?）當(dāng)時(shí),

的單調(diào)遞增區(qū)間是().……………………2分

(?) 當(dāng)時(shí),令得

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

的單調(diào)遞減區(qū)間是()，

的單調(diào)遞增區(qū)間是 ().……………………5分

(Ⅱ),

,.

設(shè)

若存在實(shí)數(shù),使得成立,

則……………………8分

解得得,

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

在上是減函數(shù),在上是增函數(shù). …………………10分

的取值范圍是().…………………………………………………12分

21．(本題12分)

（I）由，得是的中點(diǎn). …………2分

設(shè)依題意得:

消去，整理得．

當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，方程表示圓．       ……………………………5分

（II）由，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線(xiàn)與曲線(xiàn)恒有兩交點(diǎn)，

直線(xiàn)斜率不存在時(shí)不符合題意；

可設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)與橢圓交點(diǎn).

.………………7分

要使為銳角，只需

.………………9分

即，

可得，對(duì)于任意恒成立.

而，

所以的取值范圍是.………………12分

22(本題12分)

 解:(Ⅰ)，………………1分

，

即().………………3分

（II），

.

猜想當(dāng)時(shí)，.………………4分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)時(shí)，由上可知成立；

②假設(shè)時(shí)，上式成立，即.

當(dāng)時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)成立.

由①②可知當(dāng)時(shí),. ………………7分

綜上所述當(dāng)時(shí), ;

當(dāng)時(shí), ;

當(dāng)時(shí),. ………………8分

（III）

當(dāng)時(shí)，

所以

＋.………………12分