2007屆廣東省韶關市高三摸底考試數學(文)試題
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試用時120分鐘.
參考公式： 
, 其中
是錐體的底面積，
是錐體的高.
一、選擇題（共10小題，每題5分）
1.已知復數
，
，則在
復平面上對應的點位于（
）
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
2.有3張獎券，其中2張可中獎，現3個人按順序依次從中抽一張，小明最后抽，則他抽到中獎券的概率是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
3.已知命題
，命題
的解集是
，下列結論：
①命題“
”是真命題； ②命題“
”是假命題；
③命題“
”是真命題； ④命題“
”是假命題
其中正確的是（ ）
(A)②③ (B)①②④ (C)①③④ (D)①②③④
4.已知
，則
（ ）
(A)2 (B)－2 (C)0 (D)
5.
有解的區域是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
6.已知向量
，
，若向量
，則
（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)2
7.已知兩點
，點
是圓
上任意一點，則
面積的最小值是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
8. 甲、乙、丙、丁四位同學各自對
、
兩變量的線性相關性作試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數
與殘差平方和
如下表：
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
115
106
124
103
則哪位同學的試驗結果體現、兩變量更強的線性相關性？（ ）
甲
乙
丙 
丁
9.如圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為（
）
(A)1 (B)
(C) (D)
10.已知拋物線
，過點
)作傾斜角為
的直線
，若與拋物線交于
、兩點，弦
的中垂線交
軸于點
，則線段
的長為（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空題（共4小題，每小題5分）
11.已知集合
，使
的集合B的個數是_________．
12.在約束條件
下，目標函數
的最大值為_____________.
13.在中，若
，則的外接圓半徑
，將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四面體
中，若
兩兩垂直，
，則四面體的外接球半徑
____________．
14.在如下程序框圖中，輸入
，則輸出的是__________.
三、解答題（共6小題，共80分）
15.(本題滿分12分)在中，
是三角形的三內角，
是三內角對應的三邊，已知
．
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
，求角的大小．
16.(本題滿分12分)已知
，
．
（Ⅰ）當
時，求證：
在
上是減函數；
（Ⅱ）如果對
不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
17.(本題滿分14分)如圖所示，在棱長為2的正方體
中，
、
分別為
、
的中點．
（Ⅰ）求證：
//平面
；
（Ⅱ）求證：
；
（Ⅲ）求三棱錐
的體積．
18.(本題滿分14分)某養殖廠需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價格為1.8元，飼料的保管與其他費用為平均每公斤每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元．
（Ⅰ）求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小；
（Ⅱ）若提供飼料的公司規定，當一次購買飼料不少5噸時其價格可享受八五折優惠（即原價的85%）．問該廠是否考慮利用此優惠條件，請說明理由．
19.(本題滿分14分)觀察下面由奇數組成的數陣，回答下列問題：
（Ⅰ）求第六行的第一個數．
（Ⅱ）求第20行的第一個數．
（Ⅲ）求第20行的所有數的和．
20.(本題滿分14分)如圖，在直角梯形
中，
，
，
，橢圓以、為焦點且經過點
．
（Ⅰ）建立適當的直角坐標系，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若點滿足
,問是否存在直線
與橢圓交于
兩點，且
？若存在，求出直線 與
夾角
的正切值的取值范圍；若不存在，請說明理由．
2007屆廣東省韶關市高三摸底考試數學(文)試題
答案及評分標準
DCDBB DADDA
題號
11
12
13
14
答案
8
2
二、填空題
三、解答題
15.解：（Ⅰ）在中，
且 
，
…………6分
（Ⅱ）由正弦定理，又，故
…………8分
即：
故是以
為直角的直角三角形……………10分
又∵
， ∴
…………………………12分
16.解：（Ⅰ）當時，
……………1分
∵
………………2分
……………3分
∴在上是減函數 …………4分
（Ⅱ）∵不等式恒成立
即不等式
恒成立
∴不等式
恒成立 …………………6分
當
時， 
不恒成立 ……………7分
當
時，不等式恒成立 ……………8分
即
∴
…………………10分
當
時，不等式不恒成立… … …… 11分
綜上所述，的取值范圍是
… … … …12分
17.證明：（Ⅰ）連結
，在
中，、分別為
，的中點，則
……………4分
（Ⅱ）
…………9分
（Ⅲ）
且 
，
………10分
∴
即
…………………12分
=
=
………………14分
18.解：（Ⅰ）設該廠應隔
天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為
…1分
∵飼料的保管與其它費用每天比前一天少200×0.03=6（元），
∴天飼料的保管與其它費用共是
………………4分
從而有
…………5分
………………7分
當且僅當
，即
時，有最小值………………8分
即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小.
（Ⅱ）若廠家利用此優惠條件，則至少25天購買一次飼料，設該廠利用此優惠條件，每隔天(
)購買一次飼料，平均每天支付的總費用為
，則
……………10分
∵
∴當時，
，即函數在
上是增函數…………12分
∴當
時，取得最小值為
，而
……………13分
∴該廠應接受此優惠條件 ……………14分
19.解：（Ⅰ）第六行的第一個數為31 ……………2分
（Ⅱ）∵第
行的最后一個數是
，第行共有個數，且這些數構成一個等差數列，設第行的第一個數是
……………5分
∴
……………7分
∴
…………9分
∴第20行的第一個數為381 ……………10分
（Ⅲ）第20行構成首項為381，公差為2的等差數列，且有20個數
設第20行的所有數的和為
………………12分
則
……………14分
20.解：（Ⅰ）如圖，以所在直線為軸，的垂直平分線為
軸建立直角坐標系
則
，
，
，
………2分
設橢圓方程為
則
解得
………………4分
∴所求橢圓方程為
…………………5分
（Ⅱ）由
得點的坐標為
顯然直線 與軸平行時滿足題意，即
…………6分
直線 與軸垂直時不滿足題意
不妨設直線 
……………7分
由
得 
………9分
由 
得 
………10分
設
，
,
的中點為
則
，
………11分
∵
∴
∴
即 
解得：
………………12分
由 
得 
且 
…………13分
故直線 與夾角的正切值的取值范圍是
……………14分
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