Question

【題目】已知：如圖①，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊AB、BC上，且BD=BE，連接DE．

（1）求證：DE∥AC；

（2）將圖①中的△BDE繞點B順時針旋轉，使得點A、D、E在同一條直線上，如圖②，求∠AEC的度數；

（3）在（2）的條件下，如圖③，連接CD，過點D作DM⊥BE于點M，在線段BM上取點N，使得∠DNE+∠DCE=180°．求證：EN﹣EC=2MN．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60°；（3）證明見解析

【解析】

（1）欲證明DE∥AC，只要證明∠DEB=∠C即可；

（2）通過“邊角邊”證明△ABD≌△CBE，然后推出∠CEB=∠ADB=120°，即可解決問題；

（3）通過“角角邊”證明△BDN≌△EDC，得到BN=CE，由DB=DE，DM⊥BE，推出BM=EM，即BN+MN=EN﹣MN，推出CE+MN=EN﹣MN，即EN﹣EC=2MN.

解：（1）證明：如圖①中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

又∵BD=BE，

∴△BDE是等邊三角形，

∴∠BED=60°，

∴∠C=∠BED，

∴DE∥AC；

（2）如圖2中，

∵△ABC、△BDE都是等邊三角形，

∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=∠BDE=∠BED=60°，

∴∠ABD=∠CBE，

在△ABD和△CBE中，

，

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∴∠CEB=∠ADB，

∵∠ADB=180°﹣∠BDE=180°﹣60°=120°，

∴∠CEB=120°，

∴∠AEC=∠CEB﹣∠BED=120°﹣60°=60°；

（3）證明：如圖3中，

∵∠DNE+∠DCE=180°，∠DNE+∠DNB=180°，

∴∠DCE=∠DNB，

由（1）知△BDE是等邊三角形，

∴BD=ED，∠DBE=60°，

由（2）知∠AEC=60°，

∴∠DBE=∠AEC，

在△BDN和△EDC中，

，

∴△BDN≌△EDC（AAS），

∴BN=CE，

∵DB=DE，DM⊥BE，

∴BM=EM，即BN+MN=EN﹣MN，

∴CE+MN=EN﹣MN，

∴EN﹣EC=2MN．