Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB=2，AD和BE是圓O的兩條切線，A、B為切點，過圓上一點C作⊙O的切線CF，分別交AD、BE于點M、N，連接AC、CB，若∠ABC=30°，則AM= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：連接OM，OC， ∵OB=OC，且∠ABC=30°，
∴∠BCO=∠ABC=30°，
∵∠AOC為△BOC的外角，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵MA，MC分別為圓O的切線，
∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，
在Rt△AOM和Rt△COM中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），
∴∠AOM=∠COM= ∠AOC=30°，
在Rt△AOM中，OA= AB=1，∠AOM=30°，
∴tan30°= ，即 = ，
解得：AM= ．
故答案為： ．

連接OM，OC，由OB=OC，且∠ABC的度數求出∠BCO的度數，利用外角性質求出∠AOC度數，利用切線長定理得到MA=MC，利用HL得到三角形AOM與三角形COM全等，利用全等三角形對應角相等得到OM為角平分線，求出∠AOM為30°，在直角三角形AOM中，利用銳角三角函數定義即可求出AM的長．