Question

【題目】如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，圓心O在AC上，∠A=30°，D為的中點．
（1）求證：AB=BC．
（2）試判斷四邊形BOCD的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵AB是⊙O的切線，
∴∠OBA=90°，∠AOB=90°﹣30°=60°．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，∠OCB=30°=∠A，
∴AB=BC．
（2）四邊形BOCD為菱形，
理由如下：連接OD交BC于點M，
∵D是的中點，
∴OD垂直平分BC．
在Rt△OMC中，
∵∠OCM=30°，
∴OC=2OM=OD
∴OM=MD，
∴四邊形BOCD為菱形．

【解析】（1）由AB是⊙O的切線，∠A=30°，易求得∠OCB的度數，繼而可得∠A=∠OCB=30°，又由等角對等邊，證得AB=BC；
（2）首先連接OD，易證得△BOD與△COD是等邊三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可證得四邊形BOCD是菱形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．