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∴=-2(x₂-2).                   5分

∴l：y+(x₂-2)²=-2(x₂-2)(x-x₂),

∴=2x₁.     2分

∴l：y-x₁²=2x1(x-x₁),即y=2x₁x-x₁².       3分

設直線l與C₂相切于點(x₂,-(x₂-2)²),

∵y=-(x-2)²,

∴y′=-2(x-2).

18.(本小題滿分10分)已知曲線C₁：y=x²與C₂:y=-(x-2)²,若直線l與C₁、C₂都相切,求l的方程.

分析 本題主要考查導數幾何意義的應用.要求具有某種性質的切線,只需求出對應的x₀即可,一般要求出x₀所需滿足的方程或方程組,解之即可.

解 設直線l與C₁相切于點(x₁,x₁²),

∵y=x²,∴y′=2x.

由f′(x)=-x²+24 000=0,

解得x₁=200,x₂=-200(舍去).          6分

∵f(x)在［0,+∞)內只有一個點x₁=200使f′(x)=0,

∴它就是最大值點,f(x)的最大值為f(200)=3 150 000(元).

∴每月生產200 t才能使利潤達到最大,最大利潤是315萬元.    8分

解 每月生產x噸時的利潤為f(x)=(24 200-)x-(50 000+200x)=-+24 000x-50 000(x≥0).                               4分

17.★(本小題滿分8分)某工廠生產某種產品,已知該產品的月生產量x(t)與每噸產品的價格p(元/t)之間的關系式為p=24 200-,且生產x t的成本為R=50 000+200x(元).問該產品每月生產多少噸才能使利潤達到最大?最大利潤是多少?(利潤=收入-成本)

分析 本題主要考查利用導數求函數的最值.根據題意,列出函數關系式,求導求解.

∵x=16,∴=32.                    7分

故當堆料場的寬為16 m，長為32 m時，可使砌墻所用的材料最省.?8分

[注] 本題也可利用均值不等式求解.

∵x>0,∴x=16.                          5分

∵L在(0,+∞)上只有一個極值點,

∴它必是最小值點.

令L′=2-=0,得x=16或x=-16.       4分

L′=2-.