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⒀、已知函數，若為奇函數，則________。

⒁、已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側面與底面所成的二面角等于_______________。

⒂、設，式中變量滿足下列條件

則z的最大值為_____________。

⒃、安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________種。(用數字作答)

⑴、已知向量滿足，且，則與的夾角為

A．　　　　　　　 B．　 　　　　C．　　　　　 D．

⑵、設集合，，則

A．　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　 D．

⑶、已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則

A．　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　 D．

⑷、雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則

A．　　　　　　　 B．　　　　 　　C．　　　　　 D．

⑸、設是等差數列的前項和，若，則

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑹、函數的單調增區間為

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

⑺、從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑻、的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數列，且，則

A．　　　　　 　　　B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑼、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D．

拋物線上的點到直線距離的最小值是

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　 　　　　　D．

⑽、在的展開式中，的系數為

A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

⑾、拋物線上的點到直線距離的最小值是

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

⑿、用長度分別為2、3、4、5、6(單位：)的5根細木棒圍成一個三角形(允許連接，但不允許折斷)，能夠得到的三角形的最大面積為

A．　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

普通高等學校招生全國統一考試

理科數學

第Ⅱ卷

22.解: (Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，… , ①　 得 a₁=S₁= a₁－×4+ 所以a₁=2.

再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,…

將①和②相減得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),n=2,3, …

整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n=2,3, … , 因而數列{ a_n+2ⁿ}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數列,即 : a_n+2ⁿ=4×4^n－1= 4ⁿ, n=1,2,3, …, 因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)將a_n=4ⁿ－2ⁿ代入①得 S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ + = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2)

　 = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)　　

　T_n= = × = ×( － )

所以, = － )　 = ×( － ) <

由= +得M的坐標為(x,y), 由x₀,y₀滿足C的方程,得點M的軌跡方程為:

+ =1 (x>1,y>2)　

(Ⅱ)| |²= x²+y²,　 y²= =4+ ,

∴| |²= x²－1++5≥4+5=9.且當x²－1= ,即x=>1時,上式取等號.

故||的最小值為3.

21.解(Ⅰ)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導數得 f '(x)= e^－ax. 　

(ⅰ)當a=2時, f '(x)= e^－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數.

(ⅱ)當0<a<2時, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數.

(ⅲ)當a>2時, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x₁= － , x₂= .

當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數, f(x)在(－,)為減函數.

(Ⅱ)(ⅰ)當0<a≤2時, 由(Ⅰ)知: 對任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.

(ⅱ)當a>2時, 取x₀= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1

(ⅲ)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－ax≥1,得

f(x)= e^－ax≥ >1. 綜上當且僅當a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.

20.解: 橢圓方程可寫為: + =1　 式中a>b>0 , 且　 得a²=4,b²=1,所以曲線C的方程為:　 x²+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '=－

設P(x₀,y₀),因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2, y '|_x=x0= － ,得切線AB的方程為:

19.解法一: (Ⅰ)由已知l₂⊥MN, l₂⊥l₁ , MN∩l₁ =M, 可得l₂⊥平面ABN.由已知MN⊥l₁ , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN為AC在平面ABN內的射影.

∴AC⊥NB

(Ⅱ)∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC內的射影H是正三角形ABC的中心,連結BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

解法二: 如圖,建立空間直角坐標系M－xyz.令MN=1, 則有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)∵MN是 l₁、l₂的公垂線, l₁⊥l₂, ∴l₂⊥平面ABN. l₂平行于z軸. 故可設C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴·=1+(－1)+0=0　 ∴AC⊥NB.

(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).

連結MC,作NH⊥MC于H,設H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ),

=(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 連結BH,則=(－1,, ),

∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),

∴cos∠NBH= = 　=

18.解: (1)設A_i表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依題意有: P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = . P(B₀)= × = ,

P(B₁)=2× × = , 所求概率為: P=P(B₀·A₁)+P(B₀·A₂)+P(B₁·A₂)

= × + × + × =

(Ⅱ)ξ的可能值為0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()³= , P(ξ=1)=C₃¹××()²=

, P(ξ=2)=C₃²×()²× = 　 , P(ξ=3)=( )³=

ξ的分布列為:

數學期望: Eξ=3× = .

17.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .

cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin² + 2sin

=－2(sin － )²+

當sin = , 即A=時, cosA+2cos取得最大值為

⒄、(本小題滿分12分)

的三個內角為，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。

⒅、(本小題滿分12分)

A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。

(Ⅰ)求一個試驗組為甲類組的概率；

(Ⅱ)觀察3個試驗組，用表示這3個試驗組中甲類組的個數，求的分布列和數學期望。

⒆、(本小題滿分12分)

如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點A、B在上，C在上，。

(Ⅰ)證明⊥；

(Ⅱ)若，求與平面ABC所成角的余弦值。

⒇、(本小題滿分12分)

在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：

(Ⅰ)點M的軌跡方程；

(Ⅱ)的最小值。

(21)、(本小題滿分14分)

已知函數。

(Ⅰ)設，討論的單調性；

(Ⅱ)若對任意恒有，求的取值范圍。

(22)、(本小題滿分12分)

設數列的前項的和

，

(Ⅰ)求首項與通項；

(Ⅱ)設，，證明：

⒀、已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側面與底面所成的二面角等于_______________。

⒁、設，式中變量滿足下列條件

則z的最大值為_____________。

⒂、安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________種。(用數字作答)

⒃、設函數。若是奇函數，則__________。