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3、下列說法中，不正確的是(　　 )

　　 A、函數的值域中的每個數都有原象

　　 B、定義域和值域分別相等的兩函數是同一函數

　　 C、定義域和對應法則分別相同的兩函數是同一函數

　　 D、函數的定義域只含一個元素，則值域也只有一個元素

2、下列四組函數中，表示同一函數是(　　　 )

　　 A、

　　 B、

　　 C、

　　 D、

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　A組

1、已知，則f[f(－1)] 的值等于(　　　 )

　　 A、2　　　 B、3　　　 C、4　　　 D、5

4、評價：檢驗與評價結果是否符合實際。

例9.已知f(x+1)=x²-3x+2，

　 (1)求f(x)；

　 (2)求f(x-a)+f(x+a)

[探路]換元法：用湊法換元或設法換元。

[解法一]

　 (1)改寫已知等式，并且湊法：

　　　 f(t+1)=t²-3t+2=(t+1)²-5t+1=(t+1)²-5(t+1)+6，

　　　 ∴f(x)=x²-5x+6

　 (2)f(x-a)+f(x+a)=(x-a)²-5(x-a)+6+(x+a)²-5(x+a)+6

　　　　　　　　　　　　　　 =2x²-10x+2a²+12

[解法二]

　　 (1)把已知等式改寫為

　　　　　　　　　　 　f(t+1)=t²-3t+2

　　　　　　　 設 t+1=x，則t=x-1

　　　 f(x)=(x-1)²-3(x-1)+2=x²-5x+6

　　　 即f(x)=x²-5x+6

　　 (2)同“解法一”

[評注]

　　 解法一是“湊法”，解法二是“設法”，它們都是換元法。選用哪個方法要由題目的條件來確定，

　　 如本題解法二較好。但下面的例2用解法二(設法)卻是不好的。

例10.已知，求f(x)和f(-3)。

[探路]

　　 用湊法換元。

[解]把已知式先改寫，并用湊法：

　　 ∴

　　 ∴f(-3)=-3(9-3)=-18

[評注]

　　 本題用“設法”，即“設，解出t”是不好的，請你試試看。

例11.求下列函數的定義域：

　　 (1)；　 (2)

[解](1)

　　　 ∴函數的定義域是(-∞，-3)∪(-3，-1] ∪[4，+∞)。

　　　 (2)

　　　　　 ∴函數的定義域是(-2，2)∪(2，+∞)

[評注]

　　 在(1)中，解|x+1|-2≠0得x≠1 , x≠-3，如果寫成“x≠1，或x≠-3”，這是錯誤的；應寫成

　　 “x≠1，且x≠3”。這是一個重要的邏輯思維問題，不要用錯邏輯聯結詞“或”、“且”。寫出

　　 上面的x{1，-3}是最好的。

　　 在(2)中，解時，先解方程，經檢驗x=-1是增根，應舍去。

　　 所以得x≠2。

　　 求定義域最關鍵問題是列出自變量可取值的充要條件組。在解析式上，目前應記準列條件組的下述

　　 法則：

　　 有分式--分母非零；

　　 有偶次根式--被開方式非負；

　　 有零指數冪--底非零。

例12.(1)已知y=f(x)的定義域是[-1，2]，求函數y=f(x+1)-f(x-1)的定義域。

　　　 (2)已知y=f(1-2x)的定義域是[-1，2]，求函數y=f(x)的定義域。

[探路]

　　 利用函數的符號意義來求其自變量的取值范圍。先改寫已知定義域的函數的自變量。

[解]

　　 (1)∵f(t)的定義域是[-1，2]，

　　　　 ∴-1≤t≤2。

　　　 對于函數y=f(x+1)-f(x-1)使f(t)有意義，應有

　　　　 ，

　　 ∴函數y=f(x+1)-f(x-1)的定義域是[0，1]。

　　 (2)∵f(1-2t)的定義域是[-1，2]

　　 　 ∴-1≤t≤2

　　　　 ∴-3≤1-2t≤3

　　　　　 對于函數f(x)的自變量x=1-2t∈[-3，3]

　　 ∴函數y=f(x)的定義域是[-3，3]

[評注]

　　 本題就是“抽象問題”，求抽象函數的定義域要由函數符號的意義來確定，其關鍵是抓住“誰是自

　　 變量”，求定義域就是求自變量的取值范圍。以本題之(2)為例：首先要弄清f(1-2x)和f(x)是兩個

　　 不同的函數；因為它們的自變量都表示為x，為了防止混淆，把已知函數f(1-2x)改寫為f(1-2t)，這

　　 樣函數f(1-2t)的自變量為t∈[-1,2].所求函數f(x)的自變量為x，再由x=1-2t , t∈[-1 , 2]，求

　　 得x∈[-3，3]，即得f(x)的定義域。函數y=f(1-2t)是函數y=f(x)和函數x=1-2t的“復合”。中學

　　 所遇到的“抽象函數問題”就是這種復合函數的符號問題。

例13.求函數的值域。

[探路]用“不等式法”或“反解法”。

[解法一]用“不等式法”：

　　 由x≠3得≠0(即)

　　 ∴y≠2，即得函數y的值域：{y|y∈R，且y≠2}。

[解法二]用“反解法”，即“解x法”：

　　　　 　　　 ①

　　　　 關于自變量x的方程①有x≠3的解y≠2，

　　　　 ∴函數y的值域是{y|y∈R，且y≠2}

[評注]

　　 “不等式法”，已在前面說過，通過本例加以熟練。

　　 “反解法”就是把函數y=f(x) , x∈A(A是定義域)等價地化為關于自變量x的方程，求值域就是求

該方程在定義域上有解的充要條件。但不必求出x，只要用各種方法消去x，用y表出這個充要條件，即可

解得值域。當這個充要條件可用判別式表出，那么，這種“反解法”就叫做“判別式法”。當這個充要條

件不能用判別式表出，即是判別式法失效！

例14.求函數的值域。

[探路]用“判別式法”

[解]該函數的定義域A=R

　　　　　　　 　 　　　　　　　 ①

　 (1)當y=0時，①x=0∈A(定義域)，∴有y=0　

　 (2)當y≠0時，①有實數解△=1-4y²≥0(y≠0)

　 　　 Û。

　　　 由(1)和(2)，得函數值域為[]。

[評注]

　　 判別式法應用在二次方程中，所以應注意討論方程①是否為二次方程，因此本題要分類討論。

　　 本題“判別式法”有效，是因為二次方程①的根x∈R，沒有限制。對于根x有限制的二次方程，△≥0

只是有實數根的必要條件，還要補加其它條件，使之成為充要條件才能求得值域，否則，要改用其他方法。

例15.求函數的值域。

[探路]用換元法，設，則x可用t的有理式表示，從而化為二次函數的值域問題。

[解]設，則t∈[0，+∞)，x=1+t²

　　　 ∴

　　　 ∴

　　　 ∴函數的值域是[)。

[評注]

　　 用換元法，必須注意：不但解析式要完全化為新元的函數，而且要求出新元的取值范圍(新函數的定

　　 義域)，即建立完整的新函數。如本例的新函數是，t∈[0，+∞]，否則，換元不等

　　 價，容易造成錯誤。

例16.x為何值時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|的值最小？并求出這個最小值。

[探路]

　　 顯然，這是求函數。

　　　 f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|

　　 的值域問題。用分類法(零點劃分)是可以解決的，但要分為五種情況(分段函數)，太麻煩了，

　　 于是想用圖象法來解，試試看，能不能非常簡單，還有沒有更妙的解法？

[解法一]

　　 (圖象法)這個函數的圖象是折線，其最小值必在折點上取得，于是計算四個折點的函數值：

　　 f(1)=7 , f(2)=5 , f(3)=5 , f(5)=9

　　 ∴f(x)的最小值為5，當x∈[2，3]時取得。

[解法三](利用絕對值的幾何意義)畫數軸：

　　 設動點P的坐標為x，A、B、C、D的坐標分別為1、2、3、5，則f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　=|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=d

　　 由圖可知，當點P在線段BC上時，取得d₀=|BC|+|AD|=1+4=5；當點P在線段BC的兩側延長線上時d>d₀，

　　 ∴當x∈[2，3]時，取得f(x)_min=5。

[評注]解法一是圖象法，但無需畫圖，其圖象是開口向上的折線，在解題者的想象之中。

　　 　解法二是“圖解法”--畫數學式的幾何圖，圖解法包括圖象法。由本題，我們看到圖解法包括：

　　 (1)圖象法；(2)圖示法--畫幾何圖或示意圖

　　 　　　 圖解法是數形結合法。

3、求解；

2、建立目標函數，如本例目標函數是求最值的矩形面積；

例1：下列對應是不是從A到B的映射？是不是函數？

　　 (1)A=(－∞,+∞)，B=(0，+∞),　 f∶x→y=|x|

　　 (2)A={x|x≥0}, B=R, f∶x→y, y²=x.

　　 (3)A={x|x≥2, x∈Z}, B={y|y≥0, y∈Z}, f∶x→y=x²-2x+2.

　　 (4)A={平面α內的矩形}，B={平面α內的圓}，f∶作矩形的外接圓。

[探路]　

　　 按映射的特點：A中每一元素都有象，且象唯一來判別；按函數的特點；A、B都是非空數集的映射來

　　 判別。

[解]

　　 (1)不是映射，因為0∈A，但|0|=0∈B，當然，(1)更不是函數。

　　 (2)不是映射，更不是函數。因為，當x>0時，元素x的象不唯一。

　　 (3)是映射。因為，又當x∈A時，y∈Z，所以(3)是映射。又因為A、B都是數集，

　　　　 所以(3)也是函數。

　　 (4)是映射。因為每一個矩形都有唯一的外接圓，即A中每一元素在B中都有唯一的象，所以

　　　 (4)是映射。但A、B不是數集，所以不是函數。

例2：已知映射f∶A→B，其中，集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B的元素都是A中元素在映射f下

　　 的象，且對任意的a∈A，在B中和它對應的元素是|a|，則集合B中元素的個數是(　　　 )

　　 A、4　　　 B、5　　　 C、6　　　 D、7

[探路]該映射是函數，問題化為求函數的值域。

[解]已知映射f∶A→B是函數

　　 　 f(x)=|x|，定義域A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，且B是值域，求值域，得

　　 　B={3，2，1，4}，其元素的個數是4，因此，選A。

[評注]

　　 用映射的概念來深刻理解函數，反之，用函數的方法來解映射的問題，這是把概念與操作相結合的現

　　 代觀點，在本例，用具體的函數來操作映射是最快的算法，而不在概念中兜圈子。

例3：已知函數

　　 求f[f(1)]和f[f(-1)]的值。

[探路]分段計算。

[解]∵

　　　 ∴

　　 　∵

　　　 ∴

例4：下列哪組函數是同一函數？為什么？

　　 ①

　　 ②

　　 ③

　　 ④

[解]

　　 ①是同一函數，因為對應法則等價：。

　　 ②不是同一函數，因為定義域不相等：前一函數的定義域是[1，+∞]后一函數的定義域是

　　　 。

　　 ③不是同一函數，因為定義域不相等：前一函數的定義域是[0，+∞)；后一函數的定義域是

　　 (－∞，+∞)。本題也可按值域不相等直接看出。

　　 ④不是同一函數。因為定義域不相等：前一函數的定義域為R；后一函數定義

　　　 域為。

例5：作出函數的圖象。

[探路]

　　 先把函數化為分段函數，再畫圖

[解]已知函數化為

　　 其圖象如圖2。

[評注]

　　 這類函數的圖象是折線，因此，還有畫圖快法：先求折點，即各絕對值等于零的點，如本題折點有

　　 兩個：(-1，6)、(2，3)；再求一兩個適當點畫兩邊的射線，連折點間的線段，即成圖。

例6：設集合A={a₁，a₂，a₃}，B={b₁，b₂}，

　　 (1)從A到B的映射有多少個？

　　 (2)從B到A的映射有多少個？

[探路]

　　 根據“什么叫映射”來做一個映射：先算每一元素的象有幾種可能，然后就能算出共能做出多少個不

　　 同的映射。

[解]

　　 (1)作a₁的象有b₁或b₂2種方法，同樣作a₂，a₃的象也各有2種方法，所以從A到B的映射，

　　　　 共有2×2×2=8個。

　　 (2)從B到A的映射共有3×3=9個。

例7：《中華人民共和國個人所得稅法》規定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，

　　 超過800元的部分為全月應納稅所得額。此項稅款按下表分段累進計算。

　　 (1)某人今年十月份工薪為4000元，問他應納稅多少元？

　　 (2)某人去年十月份納稅26.78元，問他去年十月份的工薪為多少元？

[探路]利用分段函數進行計算。

[解](1)該人全月納稅所得額為

　　　 　4000元－800元=3200元

　　　 　他應納稅：500元×5%+1500元×10%+1200元×15%=355元。

　　 　 (2)工薪1300元應納稅：500元×5%=25元；

　　 　 　 　　工薪2800元應納稅：25元+1500元×10%=175元。

　　　　　　　 ∵26.78∈(25,175)，

　　　　　 ∴他去年十月份的工薪為1300元+(26.78－25)元×元。

例8：將長為l厘米的鐵絲折成矩形，問怎樣折才能使矩形的面積最大？并求出這個最大面積。

[探路]選取自變量，建立面積函數，注意定義域，求出值域，便得最大值。

[解]設折成的矩形的一邊長為xcm，面積為Scm²，

　　 則　

　　 當時，取得

　　 ∴將鐵絲折成邊長為的正方形時，面積最大，最大面積為

[評注]這種解決應用問題的方法叫“目標函數法”，其步驟是：

1、選取自變量，并確定定義域；

5.圖象法。

[評注]

　　 函數的定義域和對應法則確定以后，值域就被完全確定，然而求出值域卻是一個相當復雜的問題，沒

　　 有包求所有函數值域的萬能方法，只能靠自己不斷地總結和發現它。今后，隨著學習數學知識的豐富，

　　 解題也積累了經驗，你將學會許多求值域的方法，但要注意總結和掌握最基本的通法。我們暫時學會

　　 上面的五個方法，并且只能采取“例中學”的方法。由于例題較多，暫不列舉，請在下面的《B級》

　　 中學習求值域的范例。

4.反解法、判別式法。

3.換元法、配方法。