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1.已知復(fù)數(shù)z₁＝2＋mi(m∈R)，z₂＝4－3i，若z₁?z₂為實(shí)數(shù)，則m的值為

A.　　　　　 B.－　　　　　 C.－　　　　　 D.

2.設(shè)集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x－2＜2}，那么“m∈A”是“m∈B”的

A.充分而不必要條件  　B.必要而不充分條件        C.充要條件  　　D.既不充分也不必要條件

3.若a＜0，b＞0，那么下列不等式中正確的是     

A.2a²＞2b²                B.log₂＜log₂           C.log|a|＞log|b|  　　D.2－＞2－

4.已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₅＋a₉＝，則tan(a₂＋a₁₂)等于

A.            B.－                C.±          D.－

5.已知函數(shù)f(x)＝在x＝1處連續(xù)，則 (＋)等于

A.－1           B.1                C.            D.

6.要得到一個(gè)奇函數(shù)，只需將函數(shù)f(x)＝sin x－cos x的圖象

A.向右平移個(gè)單位          B.向右平移個(gè)單位     C.向左平移個(gè)單位          D.向左平移個(gè)單位

7.若函數(shù)y＝f(x＋1)與y＝e^2x＋2的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則f(x)等于

A.ln x－1(x＞0)        B.ln(x－1)－1(x＞0)         C.ln(x＋1)－1(x＞－1)    D.ln(x＋1)－1(x＞0)

8.若P為△OAB的邊AB上一點(diǎn)，且△OAP的面積與△OAB的面積之比為1∶3，則有

A.＝＋2     B.＝＋　C.＝＋  D.＝2＋

9.如右圖，A、B、C分別為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，若∠ABC＝90°，則該橢圓的離心率為

A.          B.1－        C.－1        D.

10.已知函數(shù)f(x)＝x²＋bx的圖象在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線與直線3x－y＋2＝0平行，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₀₉的值為

A.               B.               C.               D.

11.在平行四邊形ABCD中，?＝0，且2²＋²＝1，沿BD折成直二面角A―BD―C，則三棱錐A―BCD的外接球的體積是

A.            B.            C.              D.

12.已知函數(shù)f(x)＝(a是常數(shù)且a＞0).對(duì)于下列命題：

①函數(shù)f(x)的最小值是－1；      ②函數(shù)f(x)在R上是連續(xù)的；

③函數(shù)f(x)在R上存在反函數(shù)； 　④對(duì)任意x₁＜0，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f()＜.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是

A.1       B.2       C.3       D.4

第Ⅱ卷

13.設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，且它的一條準(zhǔn)線與拋物線y²＝4x的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為　　　　.

14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件則z＝()^x＋y的最小值為　　　　.

15.已知(1＋x)＋(1＋x)²＋(1＋x)³＋…＋(1＋x)ⁿ＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a_nxⁿ，且a₀＋a₁＋a₂＋…＋a_n＝126，則二項(xiàng)式(3－)ⁿ的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為　　　　.

16.已知正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，Φ(1.2)＝0.8848，Φ(0.2)＝0.5793，某正態(tài)總體的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，則σ＝　　　　，總體落入?yún)^(qū)間(－1.2,0.2)的概率為　　　　.

17.(本小題滿分12分)

已知向量a＝(1＋sin 2x，sin x－cos x)，b＝(1，sin x＋cos x)，函數(shù)f(x)＝a?b.

(1)求f(x)的最大值及相應(yīng)的x的值；

(2)若f(θ)＝，求cos 2(－2θ)的值.

18.(本小題滿分12分)

李先生居住在北京的A處，準(zhǔn)備開(kāi)車到鳥(niǎo)巢所在的B處看比賽，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如下圖(例如A→C→D算兩個(gè)路段，路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為).

(1)為了能在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)鳥(niǎo)巢，請(qǐng)你為李先生選擇一條由A到B的路線，使途中發(fā)生堵車事件的概率最小；

(2)若記按路線A→C→F→B行駛過(guò)程中遇到堵車事件的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.

19.(本小題滿分12分)

如圖，在正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，BC＝1，AA₁＝.

(1)求證：BC₁∥平面A₁DC；

(2)求二面角D―A₁C―A的大小.

20.(本小題滿分12分)

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_n＋1＝S_n－3ⁿ.

(1)當(dāng)a₁＝1時(shí)，用n表示S_n；

(2)求首項(xiàng)a₁的取值范圍，使{a_n}是遞減數(shù)列.

21.(本小題滿分12分)

設(shè)橢圓＋y²＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F₁(－c,0)與F₂(c,0)(c＞0)，且橢圓上存在點(diǎn)M，使?＝0.

(1)若直線t：y＝x＋2與橢圓存在一個(gè)公共點(diǎn)E，使得|EF₁|＋|EF₂|取得最小值，求此最小值及此時(shí)橢圓的方程；

(2)在條件(1)下的橢圓方程，是否存在斜率為k(k≠0)的直線t，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，滿足＝，且使得過(guò)點(diǎn)Q，N(0，－1)兩點(diǎn)的直線NQ滿足?＝0.若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋a)－x²－x在x＝0處取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝－x＋b在區(qū)間[0,2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

(3)證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln＜都成立.

高三數(shù)學(xué)（理）三模答案

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

A

D

B

C

D

B

C

A

C

D

C

13．                 14．                 15．                   16．1   0.4641

17．解：（1）因?yàn)?sub>，，

所以．

因此，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．

（2）由及，得，

兩邊平方得，即．

因此，．

18．解：（1）A→C→D→B堵車概率

A→C→F→B堵車概率

A→E→F→B堵車概率

因?yàn)?sub>，所以按路線A→C→F→B行駛

（2）可取值0，1，2，3

，，，

0

1

2

3

P

∴

19．（1）證明：連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)G，連續(xù)DG，

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平等四邊形，

∴AC＝GC₁，

∵AD＝DB，∴DG∥BC₁

∵DG平面A₁DC，BC₁平面A₁DC，

∴BC₁∥平面A₁DC．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC于E，過(guò)點(diǎn)DF⊥A₁C交A₁C于F，連續(xù)EF。

∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，DE平面ABC，

平面ABC平面ACC₁A₁＝AC，

∴DE⊥平ACC₁A₁．

∴EF是DF在平面ACC₁A₁內(nèi)的射影．

∴EF⊥A₁C，

∴∠DFE是二面角D－A₁C－A的平面角，

在直角三角形ADC中，DE＝．同理可求：

∴．∴．∴．

解法二：過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BC交BC于O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC交B₁C₁于E。

因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面CBB₁C₁

所以AO⊥平面CBB₁C₁，分別以CB、OE、OA所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，因?yàn)锽C＝1，AA₁＝，是等邊三角形，所以O(shè)為BC的中點(diǎn)，則，，．，

．．

（2）可求平面ACA₁的一個(gè)法向量為．

平面的一個(gè)法向量為

設(shè)二面角D－A₁C－A的大小為，則，

∵　∴．

20．（本小題滿分12分）

解：（1）由得，即，

，而

，∴是等比數(shù)列，

，∴。

（2）由（1）可知，，.

當(dāng)時(shí)，

，

是遞減數(shù)列對(duì)恒成立。

21．（本小題滿分12分）

解：（1）由，得，

，

解得或（舍去），∴此時(shí)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，得最小值，

此時(shí)橢圓方程為

　（2）由知點(diǎn)Q是AB的中點(diǎn)，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則，

兩式相減得，∴

∴AB的中點(diǎn)Q的軌跡為直線①，且在橢圓內(nèi)的部分

又由可知，所以直線NQ的斜率為，

方程為②，①②兩式聯(lián)立可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

∵點(diǎn)Q必在橢圓內(nèi)∴，解得，

又∵，∴

22．（本小題滿分14分）

解：（1），∵時(shí)，取得極值，∴，

故，解得。經(jīng)檢驗(yàn)符合題意。

（2）由知，由，

得。令，

則在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

等價(jià)于在上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根。

，

當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞減；

依題意有∴。

　（3）的定義域?yàn)?sub>。

由（1）知。令時(shí)，或（舍去），

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減。

∴為在上的最大值。

∴，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）。

對(duì)任意正整數(shù)，取得，，故。