饒平二中2008
2009學年度每周一測試卷
理科數學
(考試時間：120分鐘，全卷滿分：150分)
一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的。)
1、有下列四個命題，其中真命題是：
A.
B.
C.
D.
2、已知等差數列
的前n項和為
，若
，則
等于：
A. 18
B.
3、△ABC中，
，
，
，則
的面積為：
A.
B. 
D.
4、已知
為虛數單位，且
，則
的值為：
A. 
B.
D.
5、已知拋物線過
，則拋物線的標準方程為:
A.
B. 或 
C. D.
或 
6、已知集合
至少有一個不是空集,則
的取值范圍是:
A.
或
B.
C.
D.
7、若
是
上的增函數，且
，
，設
，
，若“
”是“
”的充分不必要條件，則實數
的取值范圍是：
A.
B.
C.
D.
8、如圖，在△ABC中,
,
，若
,
，則
A.
B.
C.
D.
二、填空題：(本大題共7小題，每小題5分，滿分30分。其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分。)
9、圓
上的動點P到直線
的距離的最小值等于
10、某企業三月中旬生產，A、B、C三種產品共3000件，根據分層抽樣的結果；企業統計員制作了如下的統計表格：
產品類別
A
B
C
產品數量（件）
1300
樣本容量（件）
130
由于不小心，表格中A、C產品的有關數據已被污染看不清楚，統計員記得A產品的樣本容量比C產品的樣本容量多10，根據以上信息，可得C的產品數量是 件。
11、給出以下四個命題：
①已知命題
；命題
.則命題
和
都是真命題；
②過點
且在
軸和
軸上的截距相等的直線方程是
；
③函數
在定義域內有且只有一個零點；
④先將函數
的圖像向左平移
個單位，
再將新函數的周期擴大為原來的兩倍，則所得圖像的
函數解析式為
．
其中正確命題的序號為 ．（把你認為正確
的命題序號都填上）
12、已知某算法的流程圖如圖所示，若將輸出的
值
依次記為
，
，
。
(1) 若程序運行中輸出的一個數組是
，則
；
(2) 程序結束時，共輸出的組數為 .
13、(坐標系與參數方程選做題)已知曲線
與直線
有兩個不同的公共點，則實數的取值范圍是_________________.
14、(不等式選講選做題)若關于的不等式
的解集為
,則實數的取值范圍為
15、(幾何證明選做題)如圖，圓內的兩條弦
、
相交于圓內一點P，已知
，
，則
三、解答題：(本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。)
16、（本小題滿分12分）
已知四棱錐
（如圖）底面是邊長為2的正方形，側棱
底面
，
、
分別為
、
的中點。
(1) 求證：平面
⊥平面
；
(2) 直線
與平面
所成角的正弦值
為
，求
的長。
17、(本小題滿分12分)
如圖，已知
是半圓
的直徑，
，、、
是將半圓周四等分的三個分點。
(1) 從
、
、、、這5個點中任取2個點，假設這2個點之間的弧長為
，求
；
(2) 在半圓內任取一點
，求三角形
的面積大于
的概率。
18、(本小題滿分14分)
如圖，在四棱錐
中，底面是矩形，已知
，
，
，
，
。
(1) 證明
平面
；
(2) 求異面直線與所成的角的正切值；
(3) 求二面角
的正弦值。
19、(本小題滿分14分)
某企業2008年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業的生產能力將逐年下降.若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為
萬元（n為正整數）.
(1) 設從今年起的前n年，若該企業不進行技術改造的累計純利潤為An萬元，進行技術改造后的累計純利潤為
萬元（須扣除技術改造資金），求
、的表達式；
(2) 依上述預測，從今年起該企業至少經過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？
20、（本小題滿分14分）
在棱長為2的正方體
中，
、
分別為
、DB的中點。
(1) 求證：
平面
；
(2) 求證：
；
(3) 求三棱錐
的體積V。
21、（本小題滿分14分）
已知函數
在
上是增函數。
(1) 求的取值范圍；
(2) 在(1)的結論下，設
，
，求函數
的最小值.
饒平二中2008
2009學年度每周一測試卷
一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的。)
B、D、C、A B、A、D、B
二、填空題：(本大題共7小題，每小題5分，滿分30分。其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分。)
9、
； 10、800； 11、①③④； 12、
，1005；
13、
14、
； 15、
三、解答題：(本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。)
16、（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，MN
底面ABCD
∴MN⊥PA 又MN⊥AD 且PA∩AD = A
∴MN⊥平面PAD ………………………………………………4分
MN平面PMN ∴平面PMN⊥平面PAD ……………………6分
（2）∵BC⊥BA BC⊥PA PA∩BA = A ∴BC⊥平面PBA
∴∠BPC為直線PC與平面PBA所成的角
即
……………………………………………10分
在
中，
∴
………………12分
17、解：（1）由題意可知
、
、
、
、
這5個點相鄰兩點間的弧長為
的可能的取值有，2，3，4
，
，
于是
=×
＋2×
＋3×
＋4×
=2。…………………6分
（2）連結MP，取線段MP的中點D，則OD⊥MP，易求得OD=
，
當S點在線段MP上時，三角形SAB的面積等于
××8 =
，
所以只有當S點落在陰影部分時，面積才能大于，
S陰影
= S扇形OMP - S△OMP = ×
×
-×= 4-8，
所以由幾何概型公式的三角形SAB的面積大于
的概
率P =
。 …………………12分
18、解：（1）證明：在
中，由題設
，AD = 2可得
，于是
。在矩形
中，
.
又
，所以
平面
.…………………………………….4分
（2）解：由題設，
，所以
（或其補角）是異面直線
與
所成的角.
在
中，由余弦定理得
由（1）知平面，
平面，
所以
，因而
，于是
是直角三角形，
故
………………………….8分
（3）解：過點P做
于H，過點H做
于E，連結PE
平面，
平面，
.又
，
因而
平面，
平面，
又
，
，
平面
，又
平面
，從而
是二面角
的平面角…………….12分
由題設可得，
于是在
中，
….14分
19、解: (1)依題意知，數列
是一個以500為首項，－20為公差的等差數列，所以
， ……………3分
＝
＝
＝
…………………7分
(Ⅱ)依題意得，
，即
，
可化簡得
， ① …………………10分
可設
，
又
，可知
是減函數，
是增函數， 又
則
時不等式①成立
…………………13分
答：從今年起該企業至少經過4年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤……………………………………………….……14分
20、（1）連接
， E、F分別為
、DB的中點， EF//，
又
平面
，EF
平面，
EF//平面………………………………………………………4分
（2）正方體
中，
平面
，
平面
則
，正方形中，
，
又
= B，AB、
平面,
則
平面，平面，所以，又EF//,
所以EF. ……………………………………………………………9分
(3)正方體的棱長為2，
、
分別為、DB的中點。
……………………………..………………14分
21、解：（1）
…………………………………2分
在
上是增函數，
在上恒成立
即
…………………………………………4分
（當且僅當
時取等號）
所以
……………………..………………6分
（2）設
,則
當
時，
在區間
上是增函數
所以
的最小值為
……………………………………………10分
當
時，
因為函數在區間
上是增函數，在區間
上也是增函數，
又在上為連續函數，所以在上為增函數，
所以的最小值為
……………………………………14分
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