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如圖，P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐，D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點(diǎn)，截面DEF∥底面ABC，且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等。（棱長和是指多面體中所有棱的長度之和）

（1）證明：P-ABC為正四面體；
（2）若PD=PA，求二面角D-BC-A的大小；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
（3）設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V，是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和？若存在，請具體構(gòu)造出這樣的一個直平行六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由。

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（本小題滿分14分）
如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點(diǎn), 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

（1）求證：P-ABC為正四面體；
（2）棱PA上是否存在一點(diǎn)M，使得BM與面ABC所成的角為45°？若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由。
（3）設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V=, 是否存在體積為V且各棱長均相等的平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和，并且該平行六面體的一條側(cè)棱與底面兩條棱所成的角均為60°? 若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個平行六面體,并給出證明；若不存在,請說明理由.

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一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中。只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)

     B、D、C、A      B、A、D、B

二、填空題：(本大題共7小題，每小題5分，滿分30分。其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分。)

9、；  10、800；    11、①③④；   12、，1005；

13、   14、；   15、

三、解答題：(本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。)

16、（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD

∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD = A

∴MN⊥平面PAD  ………………………………………………4分

MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  ……………………6分

（2）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA = A   ∴BC⊥平面PBA

∴∠BPC為直線PC與平面PBA所成的角                  

即……………………………………………10分

在中，

∴  ………………12分

17、解：（1）由題意可知、、、、這5個點(diǎn)相鄰兩點(diǎn)間的弧長為

的可能的取值有，2，3，4

 ，

，

于是=×＋2×＋3×＋4×=2。…………………6分

（2）連結(jié)MP，取線段MP的中點(diǎn)D，則OD⊥MP，易求得OD=，

當(dāng)S點(diǎn)在線段MP上時(shí)，三角形SAB的面積等于××8 =，

所以只有當(dāng)S點(diǎn)落在陰影部分時(shí)，面積才能大于，

S_陰影 = S_扇形OMP - S_△OMP = ××-×= 4-8，

所以由幾何概型公式的三角形SAB的面積大于的概

率P =。  …………………12分

18、解：（1）證明：在中，由題設(shè)，AD = 2可得

，于是。在矩形中，.

又，所以平面.…………………………………….4分

（2）解：由題設(shè)，，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角.

在中，由余弦定理得

由（1）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故………………………….8分

（3）解：過點(diǎn)P做于H，過點(diǎn)H做于E，連結(jié)PE

平面，平面，.又，

因而平面，平面_，

又，，平面，又平面

，從而是二面角的平面角…………….12分

由題設(shè)可得，

于是在中，….14分

19、解: (1)依題意知，數(shù)列是一個以500為首項(xiàng)，－20為公差的等差數(shù)列，所以

，   ……………3分

＝

＝＝  …………………7分

　(Ⅱ)依題意得，，即，

可化簡得， ①            …………………10分

可設(shè)，又，可知是減函數(shù)，

是增函數(shù)，   又

則時(shí)不等式①成立          …………………13分

答：從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過4年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤……………………………………………….……14分

20、（1）連接， E、F分別為、DB的中點(diǎn)， EF//，

又平面，EF平面，

 EF//平面………………………………………………………4分

   （2）正方體中，平面，平面

則，正方形中，，

又= B，AB、平面,

則平面，平面，所以，又EF//,

所以EF. ……………………………………………………………9分

(3)正方體的棱長為2，、分別為、DB的中點(diǎn)。

              ……………………………..………………14分

21、解：（1）…………………………………2分

在上是增函數(shù)，在上恒成立

即…………………………………………4分

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）

所以  ……………………..………………6分

（2）設(shè),則

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)

所以的最小值為 ……………………………………………10分

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上也是增函數(shù)，

又在上為連續(xù)函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，

所以的最小值為

……………………………………14分