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如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB=8，M、N、P是將半圓圓周四等分的三個分點
（1）從A、B、M、N、P這5個點中任取3個點，求這3個點組成直角三角形的概率；
（2）在半圓內任取一點S，求三角形SAB的面積大于8

2

的概率．

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如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB=8，M、N、P是將半圓圓周四等分的三個分點
（1）從A、B、M、N、P這5個點中任取3個點，求這3個點組成直角三角形的概率；
（2）在半圓內任取一點S，求三角形SAB的面積大于8的概率．

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一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的。)

     B、D、C、A      B、A、D、B

二、填空題：(本大題共7小題，每小題5分，滿分30分。其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分。)

9、；  10、800；    11、①③④；   12、，1005；

13、   14、；   15、

三、解答題：(本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。)

16、（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD

∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD = A

∴MN⊥平面PAD  ………………………………………………4分

MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  ……………………6分

（2）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA = A   ∴BC⊥平面PBA

∴∠BPC為直線PC與平面PBA所成的角                  

即……………………………………………10分

在中，

∴  ………………12分

17、解：（1）由題意可知、、、、這5個點相鄰兩點間的弧長為

的可能的取值有，2，3，4

 ，

，

于是=×＋2×＋3×＋4×=2。…………………6分

（2）連結MP，取線段MP的中點D，則OD⊥MP，易求得OD=，

當S點在線段MP上時，三角形SAB的面積等于××8 =，

所以只有當S點落在陰影部分時，面積才能大于，

S_陰影 = S_扇形OMP - S_△OMP = ××-×= 4-8，

所以由幾何概型公式的三角形SAB的面積大于的概

率P =。  …………………12分

18、解：（1）證明：在中，由題設，AD = 2可得

，于是。在矩形中，.

又，所以平面.…………………………………….4分

（2）解：由題設，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角.

在中，由余弦定理得

由（1）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故………………………….8分

（3）解：過點P做于H，過點H做于E，連結PE

平面，平面，.又，

因而平面，平面_，

又，，平面，又平面

，從而是二面角的平面角…………….12分

由題設可得，

于是在中，….14分

19、解: (1)依題意知，數列是一個以500為首項，－20為公差的等差數列，所以

，   ……………3分

＝

＝＝  …………………7分

　(Ⅱ)依題意得，，即，

可化簡得， ①            …………………10分

可設，又，可知是減函數，

是增函數，   又

則時不等式①成立          …………………13分

答：從今年起該企業至少經過4年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤……………………………………………….……14分

20、（1）連接， E、F分別為、DB的中點， EF//，

又平面，EF平面，

 EF//平面………………………………………………………4分

   （2）正方體中，平面，平面

則，正方形中，，

又= B，AB、平面,

則平面，平面，所以，又EF//,

所以EF. ……………………………………………………………9分

(3)正方體的棱長為2，、分別為、DB的中點。

              ……………………………..………………14分

21、解：（1）…………………………………2分

在上是增函數，在上恒成立

即…………………………………………4分

（當且僅當時取等號）

所以  ……………………..………………6分

（2）設,則

當時，在區間上是增函數

所以的最小值為 ……………………………………………10分

當時，

因為函數在區間上是增函數，在區間上也是增函數，

又在上為連續函數，所以在上為增函數，

所以的最小值為

……………………………………14分