題目列表(包括答案和解析)
如圖所示的四棱錐，SD垂直于正方形ABCD所在的底面，AB=1，SB=| 3 |
．
| 3 |
如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，其中AB＝
， BD＝BC＝1， AA1＝2，E為DC的中點，F是棱DD1上的動點．
(1)求異面直線AD1與BE所成角的正切值；
(2)當DF為何值時，EF與BC1所成的角為90°？
， BD＝BC＝1， AA1＝2，E為DC的中點，F是棱DD1上的動點．
一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的。)
B、D、C、A B、A、D、B
二、填空題：(本大題共7小題，每小題5分，滿分30分。其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分。)
9、
； 10、800； 11、①③④； 12、
，1005；
13、
14、
； 15、
三、解答題：(本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。)
16、（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，MN
底面ABCD
∴MN⊥PA 又MN⊥AD 且PA∩AD = A
∴MN⊥平面PAD ………………………………………………4分
MN平面PMN ∴平面PMN⊥平面PAD ……………………6分
（2）∵BC⊥BA BC⊥PA PA∩BA = A ∴BC⊥平面PBA
∴∠BPC為直線PC與平面PBA所成的角
即
……………………………………………10分
在
中，
∴
………………12分
17、解：（1）由題意可知
、
、
、
、
這5個點相鄰兩點間的弧長為
的可能的取值有，2，3，4
，
，
于是
=×
＋2×
＋3×
＋4×
=2。…………………6分
（2）連結MP，取線段MP的中點D，則OD⊥MP，易求得OD=
，
當S點在線段MP上時，三角形SAB的面積等于
××8 =
，
所以只有當S點落在陰影部分時，面積才能大于，
S陰影
= S扇形OMP - S△OMP = ×
×
-×= 4-8，
所以由幾何概型公式的三角形SAB的面積大于
的概
率P =
。 …………………12分
18、解：（1）證明：在
中，由題設
，AD = 2可得
，于是
。在矩形
中，
.
又
，所以
平面
.…………………………………….4分
（2）解：由題設，
，所以
（或其補角）是異面直線
與
所成的角.
在
中，由余弦定理得
由（1）知平面，
平面，
所以
，因而
，于是
是直角三角形，
故
………………………….8分
（3）解：過點P做
于H，過點H做
于E，連結PE
平面，
平面，
.又
，
因而
平面，
平面，
又
，
，
平面
，又
平面
，從而
是二面角
的平面角…………….12分
由題設可得，
于是在
中，
….14分
19、解: (1)依題意知，數列
是一個以500為首項，－20為公差的等差數列，所以
， ……………3分
＝
＝
＝
…………………7分
(Ⅱ)依題意得，
，即
，
可化簡得
， ① …………………10分
可設
，
又
，可知
是減函數，
是增函數， 又
則
時不等式①成立
…………………13分
答：從今年起該企業至少經過4年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤……………………………………………….……14分
20、（1）連接
， E、F分別為
、DB的中點， EF//，
又
平面
，EF
平面，
EF//平面………………………………………………………4分
（2）正方體
中，
平面
，
平面
則
，正方形中，
，
又
= B，AB、
平面,
則
平面，平面，所以，又EF//,
所以EF. ……………………………………………………………9分
(3)正方體的棱長為2，
、
分別為、DB的中點。
……………………………..………………14分
21、解：（1）
…………………………………2分
在
上是增函數，
在上恒成立
即
…………………………………………4分
（當且僅當
時取等號）
所以
……………………..………………6分
（2）設
,則
當
時，
在區間
上是增函數
所以
的最小值為
……………………………………………10分
當
時，
因為函數在區間
上是增函數，在區間
上也是增函數，
又在上為連續函數，所以在上為增函數，
所以的最小值為
……………………………………14分
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