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11.命題“若a＞2，則a²＞4”的逆否命題可表述為：若 a²≤4，則a≤2 .

12.拋物線y²＋12x＝0的準線方程是 x＝3 .

13.設條件p：0＜x＜4；條件q：|x－1|＜a，若p是q的充分條件，則實數a的取值范圍是

 [3，＋∞）.

14.如圖，l，m為異面直線，點A，B在直線l上，點C，D在直線m上，

已知AC⊥m，BD⊥m，且AB＝2，CD＝1，則  1  ；

直線l與m所成的角為  60°.

15.已知動點M分別與兩定點A(1，0)，B(－1，0)的連線的斜率之積為定值m(m≠0)，若點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓(除去點A、B)，則m的取值范圍是（－1，0）；若點M的軌跡是離心率為2的雙曲線(除去點A、B)，則m的值為  3  .

16.(本小題滿分6分)

    已知含有量詞的兩個命題p和q，其中命題p：任何實數的平方都大于零；命題q：二元一次方程2x＋y＝3有整數解.

（Ⅰ）用符號“”與“”分別表示命題p和q；

（Ⅱ）判斷命題“(?p)∧q”的真假，并說明理由.

【解】（Ⅰ）命題p：x∈R，x²＞0；                                               （1分）

命題q：x₀∈Z且y₀∈Z，2x₀＋y₀＝3.                                   （3分）

（Ⅱ）因為當x＝0時，x²＝0，所以命題p為假命題，從而命題?p為真命題.             （4分）

      因為當x₀＝2，y₀＝－1時，2x₀＋y₀＝3，所以命題q為真命題.                     （5分）

      故命題“(?p)∧q”是真命題.                                                                                     （6分）

17.(本小題滿分8分)

   在空間直角坐標系中，已知三點A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).

（Ⅰ）求〈〉的大小；

（Ⅱ）設直線AB與坐標平面xOy的交點為D，求C，D兩點間的距離.

【解】（Ⅰ）由已知，得(－2，－1，3)，(－1，3，－2).                   （1分）

  則2?3?6＝－7. .                                 （2分）

  所以cos〈〉＝.                         （3分）

  故〈〉＝120°.                                                          （4分）

（Ⅱ）設點D(x，y，0)，則(x，y－2，－3).                                   （5分）

  因為向量與共線，設，則(x，y－2，－3)＝λ(－2，－1，3).      （6分）

  于是，所以點D(2，3，0).                               （7分）

  故，即C，D兩點間的距離是.     （8分）

18.(本小題滿分8分)

     已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，點F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，點P為橢圓上一點.若橢圓的離心率為，且△PF₁F₂的周長為16.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓左頂點作直線l，若動點M到橢圓右焦點的距離

比它到直線l的距離小4，求點M的軌跡方程.

【解】（Ⅰ）設橢圓的半長軸長為a，半短軸長為b，半焦距為c，

則|PF₁|＋|PF₂|＝2a，|F₁F₂|＝2c.                                                 （1分）

因為△PF₁F₂的周長為16，即|PF₁|＋|PF₂|＋|F₁F₂|＝16，所以2a＋2c＝16，即a＋c＝8.（2分）

   又，即a＝3c，從而4c＝8，所以c＝2，a＝6，b²＝a²－c²＝36－4＝32.          （3分）

   因為橢圓的焦點在x軸上，故橢圓的標準方程是.                       （4分）

（Ⅱ）法一：因為a＝6，所以直線l的方程為x＝－6，又c＝2，所以右焦點為F₂(2，0).  （5分）

過點M作直線l的垂線，垂足為H，由題設，|MF₂|＝|MH|－4.

   設點M(x，y)，則.                         （6分）

兩邊平方，得，即y²＝8x.                                （7分）

故點M的軌跡方程是y²＝8x.                                                    （8分）

   法二：因為a＝6，c＝2，所以a－c＝4，從而橢圓左焦點F₁到直線l的距離為4.         （5分）

由題設，動點M到橢圓右焦點的距離與它到直線x＝－2的距離相等，所以點M的軌跡是以右焦點為F₂(2，0)為焦點，直線x＝－2為準線的拋物線.                                   （7分）

顯然拋物線的頂點在坐標原點，且p＝|F₁F₂|＝4，故點M的軌跡方程是y²＝8x.        （8分）

19.(本小題滿分8分)

    如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝AA₁＝1，∠BAC＝90°，試用向量方法解決下列問題.

（Ⅰ）求點C₁到平面AB₁C的距離；

（Ⅱ）求二面角A₁－B₁C－A的大小.

【解】（Ⅰ）因為AA₁⊥平面ABC， AB⊥AC，分別以AB，

AC，AA₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.                                   （1分）

   因為AB＝AC＝AA₁＝1，則點C(0，1，0)，B₁(1，0，1)，

C₁(0，1，1)，所以＝(1，0，1)，＝(0，1，0).                              （2分）

設＝(x，y，z)為平面AB₁C的法向量，則

，即. 取x＝1，則＝(1，0，－1).                         （3分）

    又＝(0，0，－1)，故點C₁到平面AB₁C的距離.   （4分）

（Ⅱ）因為點A₁(0，0，1)，所以＝(0，－1，1)，＝(1，－1，1).              （5分）

設＝(x，y，z)為平面A₁B₁C的法向量，則

，即.取z＝1，則＝(0，1，1).                       （6分）

因為＝(1，0，－1)，則，

所以.                                                           （7分）

由圖知，二面角A₁－B₁C－A的平面角為銳角，故二面角A₁－B₁C－A的大小為60°.     （8分）

20.(本小題滿分10分)  

已知雙曲線的焦點在x軸上，兩漸近線方程為，點A、B在雙曲線上，且關于直線       x＋y＋2＝0對稱，|AB|＝.

（Ⅰ）求線段AB的中點C的坐標；

（Ⅱ）求這雙曲線的方程；

（Ⅲ）過點(0，1)作直線l與雙曲線的左、右兩支分別相交于P、Q兩點，點M(0，－1)為定點，試推斷是否存在直線l，使？若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由.

【解】（Ⅰ）設雙曲線方程為3x²－y²＝λ（λ＞0），點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₀，y₀)，則

，即3(x₁－x₂)(x₁＋x₂)＝(y₁－y₂)(y₁＋y₂).    （1分）

  因為點A、B關于直線x＋y＋2＝0對稱，所以，即.

  又C為AB的中點，所以x₁＋x₂＝2x₀，y₁＋y₂＝2y₀. 于是有3x₀＝y₀.                 （2分）

  因為點C在直線x＋y＋2＝0上，所以x₀＋y₀＋2＝0.

于是4 x₀＋2＝0，即，從而，故點.                 （3分）

 （Ⅱ）因為|AB|＝，所以|AC|＝，于是，即x₁＝1.  （4分）

  又，即，所以.         （5分）

因為點A(1，0)在雙曲線上，所以λ＝3x₁²－y₁²＝3.故雙曲線方程是.     （6分）

（Ⅲ）設直線l的方程為y＝kx＋1，代入雙曲線方程，得，

即 .                                                  （7分）

  設點P(x₃，y₃)，Q(x₄，y₄)，則，. （8分）

  因為，.

 所以

.    （9分）

因為P、Q分別為雙曲線左、右兩支上的點，則.

所以.故不存在直線l，使.            （10分）