廣東省2009屆高三數學一模試題分類匯編――數列
珠海市第四中學 邱金龍（QQ：391615857）
一、選擇題
1、（2009番禺一模）已知等比數列
的各項均為正數，前
項之積為
，若
＝
，則必有（
）
A．
＝1 B．
＝
＝1
D．
＝1
B
2、（2009江門一模）已知數列的前項和
，是等比數列的充要條件是
A.
B
C.
D.
D
3、（2009茂名一模）已知等差數列
的公差為
，且
成等比數列，則
等于（ ）
A、-4
B、
D
4、（2009汕頭一模）記等比數列｛an｝的前n項和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則
等于（）
A. - 3 B?
D
5、（2009深圳一模）在等差數列中，
，
表示數列的前項和，則
A．
B．
C．
D．
B
二、填空題
1、（2009廣州一模）已知數列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*
都有
，且1<Sk<9，則a1的值為______，k的的值為________.
－1,4
2、（2009江門一模）
是等差數列的前項和，若
，
，
則
．
3、（2009韶關一模）在由正數組成的等比數列
中,
則
___.
16
三、解答題
1、（2009廣州一模）已知數列{an}的相鄰兩項an，an+1是關于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，且a1=1.
(1)求證：數列{ an－
×2n}是等比數列；
(2)設Sn是數列{an}的前n項的和，問是否存在常數λ，使得bn－λSn>0對任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由.
(本題主要考查數列的通項公式、數列前n項和、不等式等基礎知識，考查化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力)
(1)證法1：∵an，an+1是關于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，
∴
……2分
由an+an+1=2n，得
，故數列
是首項為
，公比為－1的等比數列.
……4分
證法2：∵an，an+1是關于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的兩根，
∴
……2分
∵
，
故數列是首項為，公比為－1的等比數列.
……4分
(2)解：由(1)得
，即
，
∴
……6分
∴Sn=a1+ a2+
a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]
，
……8分
要使得bn－λSn>0對任意n∈N*都成立，
即
對任意n∈N*都成立.
①當n為正奇數時，由(*)式得
，
即
，
∵2n+1－1>0，∴
對任意正奇數n都成立.
當且僅當n=1時，
有最小值1，∴λ<1.
……10分
①當n為正奇數時，由(*)式得，
即，
∵2n+1－1>0，∴對任意正奇數n都成立.
當且僅當n=1時，有最小值1，∴λ<1.
……10分
②當n為正偶數時，由(*)式得
，
即
，
∵2n－1>0，∴
對任意正偶數n都成立.
當且僅當n=2時，
有最小值1.5，∴λ<1.5.
……12分
綜上所述，存在常數λ，使得bn－λSn>0對任意n∈N*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1). ……14分
2、（2009廣東三校一模）
,是方程
的兩根,數列
的前項和為,且
(1)求數列,的通項公式;
(2)記
=
,求數列
的前項和.
解：(1)由
.且
得
2分
,
4分
在
中,令
得
當
時,T
=
,
兩式相減得
,
6分
.
8分
(2)
,
9分
,
, 10分
=2
=
,
13分
14分
3、（2009東莞一模）設等差數列
前項和
滿足
，且
，S2=6；函數
，且
（1）求A；
（2）求數列
的通項公式；
（3）若
解：（1）由
而
解得A=1……………………………………2分
（2）令
當n=1時，a1=S1=2,當n≥2時，an=Sn－Sn-1=n2+n
綜合之：an=2n…………………………………………6分
由題意
∴數列{cn+1}是
為公比，以
為首項的等比數列。
………………………9分
（3）當
………………………11分
當
………13分
綜合之：
………14分
4、（2009番禺一模）設數列對一切正整數均有
，且
，如果
，
．
（1）求，
的值；
（2）求數列
的通項公式；
（3）設數列前項之積為
，試比較與
的大小，并證明你的結論．
（1）依題意：
，則
，
而，又，所以
，
………………1分
同樣可求得
，
………………2分
（2）猜測
，
）
………………4分
①用數學歸納法證明：顯然
時猜想正確，
………………5分
②假設
時猜想成立，即
，
則
時，∵
，∴
，即
，而
故
,
………………6分
這就是說猜想也成立,故對任意正整數都有． ………………7分
（3）
……………9分
證明: ，
則
，
………10分
則
∴
………11分
設
,
，則
，
即
為
上的減函數，∴
，故時，
， ……12分
而
，∴
，
∴
………13分
∴
，，
則
，即．
14分
5、（2009江門一模）已知等差數列
和正項等比數列
，
，
．
⑴求、；
⑵對
，試比較、的大小；
⑶設的前項和為，是否存在常數
、
，使
恒成立？若存在，求、的值；若不存在，說明理由．
解：⑴由
，得
-------1分 由
且
得
-------2分
所以
，
-------4分
⑵顯然
，
時，
；
時，
，
，
-------5分
時，
-------6分 
-------7分
因為、
，所以時，
-------8分
⑶
-------9分，
恒成立，則有
-------11分，解得
，
-------12分
，
-------13分
所以，當，時，恒成立-------14分
6、（2009汕頭一模）在等比數列｛an｝中，an＞0 (n
N＊），公比q(0,1)，且a
a3與as的等比中項為2。
（1)求數列｛an｝的通項公式；
(2)設bn＝log2 an，數列｛bn｝的前n項和為Sn當
最大時，求n的值。
解：（1）因為a
+ 
＝25
又an＞o，…a3＋a5＝5，…………………………2分
又a3與a5的等比中項為2，所以，a
而q（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，
，a1＝16，所以，
…………………………6分
（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，
所以，{bn}是以4為首項，－1為公差的等差數列。。。。。。。。。9分
所以，
所以，當n≤8時，
＞0，當n＝9時，＝0，n＞9時，＜0，
當n＝8或9時，最大。 …………………………12分
7、（2009韶關一模）已知函數
（I）求
（II）已知數列滿足
,
,求數列的通項公式;
(Ⅲ)
求證:
.
解:(
)因為
所以設S=
（1）
S=
……….(2)
(1)+(2)得:
=
, 所以S=3012
(
)由兩邊同減去1,得
所以
,
所以
,
是以2為公差以
為首項的等差數列,
所以
因為
所以
所以
>
8、（2009深圳一模理）已知函數
，
為函數
的導函數．
（Ⅰ）若數列滿足：
，
（
），求數列的通項；
（Ⅱ）若數列
滿足：
，
（）．
（?）當
時，數列是否為等差數列？若是，請求出數列的通項
；若不是，請說明理由；
（?）當
時，
求證：
．
【解】（Ⅰ）
，
…………………………1分
，
即
．
…………………………3分
， 
數列
是首項為
，公比為
的等比數列．
，即
．
…………………………5分
（Ⅱ）（?）
，
．
當
時，
．
假設
，則
．
由數學歸納法，得出數列為常數數列，是等差數列，其通項為
． …………8分
（?）
，
．
當
時，
．
假設
，則
．
由數學歸納法，得出數列
．……………10分
又
，
，
即
．
…………………………12分
．
，
．
…………………………14分
10、（2009深圳一模文）設數列的前項和為，，且對任意正整數,點
在直線
上.
(Ⅰ) 求數列的通項公式；
（Ⅱ）是否存在實數
，使得數列
為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，則說明理由.
（Ⅲ）求證： 
.
解：(Ⅰ)由題意可得：
①
時, 
②
…………………… 1分
①─②得
， 
…………………… 3分
是首項為，公比為的等比數列，
……………… 4分
（Ⅱ）解法一:
……………… 5分
若
為等差數列，
則
成等差數列, ……………… 6分
得
……………… 8分
又
時，
，顯然
成等差數列，
故存在實數，使得數列
成等差數列. ……………… 9分
解法二: ……………… 5分
…………… 7分
欲使
成等差數列,只須
即便可. ……………8分
故存在實數，使得數列成等差數列. ……………… 9分
（Ⅲ）
…… 10分
………… 11分
………… 12分
又函數
在
上為增函數，
，
………… 13分
，．
……… 14分
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