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1.數列中和之間基本關系

例１       已知數列的前項和，則其通項        ；若它的第項滿足，則    ．

分析：由數列中，可以求出，問題就解決了．

解析：當時；

當時，．

而時的情況也符合的情況，故通項．

由解得，又是正整數，故．分別填，．

點撥：數列的通項和前項和之間的關系是數列的一個重要考點，需要注意的是應分和兩種情況分別求解，再看兩種情況能不能統一，若能就統一到一個公式，不能就用分段的形式寫出數列的通項公式．

2.等差等比數列的基本問題

例２       設是公比大于的等比數列，為數列的前項和．已知，且，，構成等差數列．

（1）求數列的通項公式；                                                          

（2）令　，，求數列的前項和．

分析：由條件＂，且，，構成等差數列＂，列出方程組就可以求出等比數列的首項和公比，問題的突破口就打開了．

解析：（1）由已知得，解得．設數列的公比為，由，可得．又，可知，即，

解得．由題意故，．故數列的通項為．

（2）由于由（1）得，.

       又，是等差數列．

       ．

       故．

點撥：等比數列的基本元素是首項和公比，用方程的思想解決了這兩個元素，題目中的其他問題也就不難解決了，在復習中要樹立用方程思想尋找數列基本元素的意識．

3.考查數列基本問題的同時，對脫胎于教材上等比數列前和推導方法的數列求和的考查

例３       設數列滿足

（１）求數列的通項；

（２）設求數列的前項和．

分析：求出數列的通項是是問題的突破口，從的結構特點，只要對其下標降一個標號，兩式相減就可以求出．

解析：: (１) ， ，

，．驗證時也滿足上式，所以

(２) ，

，兩端同乘以得：

，兩式相減得：　，即 ， 所以 ．

點撥：本題第二問的求和方法，脫胎于教材上等比數列前項公式的推導方法，是近年來高考數列試題中考查最多的一個地方，在復習中一定要熟練的掌握．

4.與算法結合考數列求和，特別是與算法的循環結構結合，將是今后課標區高考的一個重要命題方向．（文科不要這個）

分析：循環終止的條件是，即按照將的值賦給后時循環終止．

解析：按照順序結構依次執行的法則，變量是從開始，經兩次將賦給進行的累加求和，即；變量是從先將賦給后開始的累加求和，即從開始的，經再次將賦給后到終止，即．

選Ｄ．

點撥：高考對算法的考查主要是帶有循環結構的程序框圖，數列求和是一個重要方面．

5.與不等式函數等問題相結合的綜合問題

例５       已知函數，是方程的兩個根，是的導數；設，（）．

（1）求，的值；

（2）證明：對任意的正整數，都有；

（3）記（），求數列的前項和．

解析：（1）∵，是方程的兩個根，∴；

 （2），

=，∵，∴由基本不等式可知（當且僅當時取等號，但，故等號取不到），∴同，樣，……，（）；

 （3），而，即，

，同理，故，又，故，又，所以．

點撥：本題的背景是非線形遞推數列通項公式的特征方程求解方法，將數列與函數導數不等式結合起來綜合考查我們對數學知識、數學方法、數學思想的認識，是我們復習備考中應重視的地方．

6.算法：主要是帶有循環結構的程序框圖．（文科不要這個）

例６．如果執行右面的程序框圖，那么輸出的（　　）

Ａ．2450                    Ｂ．2500            

Ｃ．2550                    Ｄ．2652

分析：記數變量從開始，累加變量從開始，進入循環體后記數變量逐個增加，累加變量以記數變量的二倍累加，直到記數變量超過終止循環，故所求的是．

解析：由程序知，

選Ｃ．

點撥：這類問題的關鍵是搞清楚循環開始的條件和終止的條件以及循環的規律．

四  掃雷先鋒

易錯點一 忽視分段至誤

例1        若等差數列的首項，公差，求.

分析：考生有可能忽視了的情況，只給出的結果，如下面的解法：由題意 ，因此由解得，即數列的前6項大于0，從第7項開始，以后各項均小于0.所以

解析：由題意 ，因此由解得，

即數列的前6項大于0，從第7項開始，以后各項均小于0.

當時，

當時，

所以

點評：在數列問題中，一定注意項數的取值范圍，特別是在它取不同的值造成不確定的因素時，要注意對其加以分類討論.

易錯點二：忽視正整數的限制條件至誤。

例2        數列是遞減等差數列，且，，試求數列前項和的最大值，并指出對應的的值．

分析：本題有多種解法，一種方法就是求出該等差數列的前項和的表達式，由于該等差數列的公差不等于零，其前項和是關于的二次函數，考試容易忽視是正整數的限制條件導致結果出錯。

解析：設此等差數列的首項為，公差為，

則由即，解得（舍）或

，當時，最大，最大值為287．

點評：等差數列的前項和公式可化為，它可以看成是關于的二次函數，故可采用配方法求其前項和公式的最值，但應特別注意，當對稱軸不是正自然數時，應將與對稱軸最接近的兩個自然數代入函數關系式，再求值比較，以便確定取何值時，最大（最小）.

易錯點三：忽視隱含條件至誤

例3        已知等比數列，若，，求．

分析：本題考生容易忽視隱含條件出現錯解，如下面的解法：，，，解得或，，或，或或或．這個解法忽視了題目中所隱含的的條件。

解析：有錯因診斷的解法可以用得到該等比數列的公比或，所以或．

點評：在解決等比數列問題時要密切注意其中所隱含的條件，如等比數列中不能出現等于零的項，等比數列中的項要么都是正值、要么都是負值，當出現正負項時，不可能連續兩項符號相同，只能是正負相間等。

五  規律總結

1.等差數列的充要條件：數列是等差數列（為常數，）（為常數，）（為常數）．

2.等差數列的常用性質：已知是等差數列，公差為，則①；     ②若，則；③下標成等差數列的項組成的數列仍為等差數列，公差為；④仍為等差數列；⑤數列（為常數）仍為等差數列，公差為．

3.等差數列與函數的關系

①等差數列的通項公式與函數的關系：由等差數列的通項公式可知，

當時，可以看成是關于的一次函數；當時，，可知是常數函數．不論是否為的圖象都是在同一條直線上的一群孤立的點．

②等差數列的前項和公式與函數的關系：由等差數列的前項和公式可知，當時，可以看成是關于的二次函數（不含常數項，所以圖象所在的拋物線過原點）；當時，可以看成是關于的一次函數（當時），或為常數函數（當時）．

4.等比數列的充要條件：數列是等比數列（為常數，），且．

5.等比數列的常用性質：已知是等比數列，公比為，則

①；②若，則；③下標成等差數理的項組成的數列仍為等比數列，公比為；④（當各項均不為0時）為等比數列．

六  能力突破

例1 從社會效益和經濟利益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以發展旅游產業。根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少。本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項目建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加。

（1）設年內（本年度為第一年）總投入為萬元，旅游業總收入為萬元，寫出和；

（2）至少經過幾年旅游業的總收入才能超過總投入。

本題簡介：本題考查數列的實際應用．

解析：構建等比數列的通項和前項和模型，用換元法及不等式知識求解。

（1）      第一年投入為800萬元，第二年投入為800（1-）萬元，，第年投入為

800，所以年內的總投入為；第一年旅游業收入為400萬元，第二年旅游業收入為400（1+）萬元，第年旅游業收入為400萬元。所以，年內的旅游業總收入為（1+）++400=1600。

(2)設至少經過年旅游業的總收入才能超過總投入。

依題設有，即1600，化簡得，換元化歸為一元二次不等式，解之得，由此得。

故至少經過5年旅游業的總收入才能超過總投入。

反思：數列的應用題是數列的一個難點，重要是對題意的理解，而所考查的內容主是等差數列和等比數列的基本知識，其中最多的題型是分期付款，增長率等問題。

例2：已知數列滿足：，　，求出數列的通項公式．

分析一：由，知道，后式減前式得　，則數列是首項為，公比為的等比數列，這樣，從而，將這個等式相加得，從而．

解析一：（略） ．

反思一：累加相鄰兩項差的方法也是解決遞推數列問題的常用手段．

分析二：類比等比數列的遞推式，由，我們如果能通過恰當的變換化為類似的形式，問題即可解決．不妨設，則這個式子等價于，與比較，只要，則　，從而數列是首項為，公比為的等比數列，這樣就求出了數列的通項公式，將常數移項就得出了數列的通項公式．

解析二：設，則，令，則，即數列是首項為，公比為的等比數列，所以，即．

反思二：通過待定常數轉化為等比數列使問題獲解．轉化是解決遞推數列最重要的思想．

例3        已知數列滿足，且,則=      

解法一：,，由此可知此數列是以6為周期的數列，所以==。

解法二：由   ①

得②

①+②化簡得③

由③得=-()=

所以此數列是以6為周期,以下略.

反思：在數列的選擇、填空題中常給出遞推數列條件求數列某一項（一般此項的項數較大）的試題，這種題常要通過寫出數列的前幾項，然后觀察規律求其它項，這種題也往往是周期數列，所以也能用象函數求周期的方法來求出周期，再求其它項。

七 高考風向標

數列的有關知識及其性質貫穿于數列知識的始終, 而等差數列與等比數列的概念, 通項公式、前n項和公式以及運用知識解決問題, 則是考查靈活能力以及分析問題及決問題的能力的渠道。在客觀題中,突出”小、巧、活”的特點, 解答題以中等以上難度的綜合題目為主, 涉及函數、方程、不等式等內容。

程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環.特別是帶有循環結構的程序框圖.

考點一 等差數列和等比數列的基本問題

例1（08年高考海南寧夏卷理4）設等比數列的公比，前n項和為，則（    ）

分析：本題考查等比數列的前項和公式、通項公式的簡單應用，是一道容易題，只要熟悉等比數列的兩個基本公式，解答本題困難不大，但也要注意運算的準確性。

A. 2               B. 4               C.             D.

解析：C       。

點評記錯公式，運算馬虎，或是試圖求出該數列的首項，是本題出錯的主因。本題是求一個比值，因此不不要把數列的首項求出來，從整體上把它約掉即可，這也是解決“比值”類題目的重要思路之一。

考點二：等差數列、等比數列的綜合問題

例2（08年高考遼寧文20）在數列，是各項均為正數的等比數列，設．

（Ⅰ）數列是否為等比數列？證明你的結論；

（Ⅱ）設數列，的前項和分別為，．若，，求數列的前項和．

分析：本題主要考查等差數列、等比數列、對數等基礎知識和綜合運用數學知識解決問題的能力．第一問考查的是“兩個等比數列的商還是等比數列”，這和教材中的一些問題很接近，考生解決困難不大；第二問首先考查的是“正項等比數列取對數后得到的是等差數列”，其次著重考查的是“對任意正整數恒成立，可以歸結為一個關于正整數的恒等式，用多項式恒等定理得到一個關于基本量的方程組，解這個方程組確定基本量”，這可以說是本題考查的“重心”。最后一個等比數列求和是一個很容易的問題。這個試題突出的是解決兩類基本數列問題的基本量方法。

解析：（Ⅰ）是等比數列．

證明：設的公比為，的公比為，則

，故為等比數列．

（Ⅱ）數列和分別是公差為和的等差數列．

由條件得，即

．

故對，，…，

．

于是

將代入得，，． 從而有．

所以數列的前項和為．

點評：第一問論證不嚴謹，忽視公比大于0和，等比數列的一個突出特點是其中不能出現數值為的項，公比當然也不能是0，這一點要注意；第二問中式子復雜，在式子的變形中少有疏忽就會前功盡棄，考生在解決這樣的考題時，一定要一步一步的演算，達到“心細如發”的境界，才能有效地避免出錯。

考點三：簡單的遞推數列

例3（08年高考江西文5）在數列中，， ，則

A．      B．         C．      D．

分析：本題考查簡單的遞推數列通項公式的求法，采用的是“歸納遞推法”，本題也可以將遞推式變形為后，用“迭加”的方法解決。在遞推數列中這個題屬于基本類型，是高考命題的一個基本著眼點，考生要熟練掌握這類遞推數列通項公式的解決方法。

解析：  ，，…，

。

點評：不明確方法就不會解，變形錯誤就得出錯誤的結果，在和之間混淆也會出錯，如本題在用“迭加”方法解決的時候，“迭加”的是這個等式，不是個等式，在解決遞推數列問題時，開始的部分和結束的部分要辨別清楚，不然就就會出錯。

考點四：算法

例4（08年高考海南寧夏卷理5文6）

右面的程序框圖，如果輸入三個實數a、b、c，要求輸出這三個數中最大的數，那么在空白的判斷框中，應該填入下面四個選項中的（    ）

A. c > x         B. x > c         C. c > b         D. b > c。

分析:題目給出的是一個以選擇結構為主的流程圖，考生要想正確解答該題首先是明確這個算法流程圖的意義，其次是對變量賦值有清醒的認識。

解析:     A     在第一個判斷結束后，已經把兩個數中的大者賦給了，因此只要在第二個判斷中把中的打者找出來即可，故判斷框中應填。

點評:對算法流程圖所表示的意義理解模糊，或是對其中的幾次對變量賦值搞不清楚，是本題出錯的主要原因。

八  沙場練兵

選擇題

1．已知等差數列共有10項，其中奇數項之和15，偶數項之和為30，則其公差是（   ）

A．5         B．4        C． 3          D．2

1.C  提示：∴。

2.在圓內，過點有條弦的長度成等差數列，最短弦長為數列的首項，最長的弦長為，若公差，那么 的取值集合為  (    )

A．4，5，6           B．6，7，8，9       C．3，4，5        D．3，4，5，6

2.A  提示：圓可化為，所以過點最短弦長為，最長弦長為，由得。

3. 在等比數列{a_n}中，，則首項a₁=（   ）

A．               B．              C．          D．

3.D

4．關于數列：，以下結論正確的是                       （     ）

A．此數列不是等差數列，也不是等比數列

B．此數列可能是等差數列，但不是等比數列

C．此數列不是等差數列，但可能是等比數列

D．此數列可能是等差數列，也可能是等比數列

4.D  提示：由前2項可設通項和，代入檢驗即可。

5．在等差數列中，已知則等于        （     ）

       A．　　　B．　　　C．　　　　D．

5.B提示：。

6．若成等比數列，則關于x的方程           （            ）

A．必有兩個不等實根        B．必有兩個相等實根

C．必無實根                   D．以上三種情況均有可能

6.C提示：∵。

7.已知數列滿足若則的值為   （    ）

A．                  B．                  C．                  D．

7.B  提示：此數列具有周期性。

（理科第7題）如圖所示的算法中，令，，，若在集合中，給取一個值，輸出的結果是，則的值所在范圍是    （　　）

A．                     B．                 C．                D．

7.D  提示：輸出的是最大數。

8．已知數列，則數列中最大的項為                   （   ）

    A．           B．            C．或       D．不存在

8.C  提示：利用不等式且考慮的取整即可。

9.圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構造圖形，設第個圖形包含個“福娃迎迎”，則（   ）

         A．                               B．              C．4n-4           D．4n-1

9.C 

10若，則a_n＋1－a_n=（   ）

A．                               B．    

C．                    D．

10.D

11．已知a₁=0, |a₂|=|a₁＋1|，|a₃|=|a₂＋1|, …，|a_n|=|a_n－1＋1|，則a₁＋a₂＋a₃＋a₄的最小值是（  ）

A．－4              B．－2              C． 0               D．

11.B

12．由=1，給出的數列的第項為（   ）

A．          B．      C．           D．

12.C       提示：∵，即。

（二）填空題

13．在等比數列中， ， 若對正整數都有， 那么公比的取值范圍是    。                                 

13.       提示：由得。

（理科第13題）若執行下面的程序圖的算法，則輸出的_______.

14.2551 提示：輸出的是。

14．已知等差數列的前項和，若，，則          。

14.10     提示：由得，由得。

15．已知成等差數列，成等比數列，則的值為_________.

15.90     提示：：∵。

16．設數列的前項和為，關于數列有下列四個命題：

①若既是等差數列又是等比數列，則；

②若，則是等差數列；

③若，則是等比數列；

④若是等比數列，則也成等比數列；

其中正確的命題是                （填上正確的序號）。

16. ①②③提示：在④中由于可能出現的情況。

九、實戰演習

1.等差數列{a_n}的前n項和記為S_n,若a₃+a₇+a₁₁為一個確定的常數，則下列各數中也是常數的是（    ）

A.S₇                         B.S₁₁                     C.S₁₂                              D.S₁₃

2.設等比數列{a_n}的前n項和為S_n,若S₆∶S₃=1∶2，則S₉∶S₃等于（    ）

A.1∶2               B.2∶3         C.3∶4                  D.1∶3?

3．數列滿足是的前項和，則的值為（  ）

A．           B．         C．6             D．10

4．設則等于  （  ）

A．      B．     C．        D．

5.等差數列的前n項和當首項和公差d變化時，若是一個定值，則下列各數中為定值的是(    )  

 A、        B、       C、       D、

5.B

6.等比數列{a_n}的公比為q,前n項和為S_n,若S_n,S_n+1,S_n+2經過適當排列后可構成等差數列，則q可能為（    ）

A.1或-2                            B.-2或-

C.-或1                          D.-2或-或1

7. 給出以下四個問題,

①, 輸出它的相反數.        ②求面積為的正方形的周長.

③求三個數中輸入一個數的最大數.        

 ④求函數的函數值.

 其中不需要用條件語句來描述其算法的有 (    ) .

A. 個    B. 個    C. 個    D. 個

（文科第7題）在等比數列中，，則等于  （   ）

    A.             B.              C.                D.

7.A  提示：．

8．已知等比數列{a}中，則其前3項的和的取值范圍是(    )

　A.　　　　　          B.　

C.　　　　　           D.

8.D

9.在數列{a_n}中，若a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ,則a₁³+a₂³+…+a_n³等于（    ）

A.8ⁿ               B.(8ⁿ-1)        C.(6ⁿ-1)       D.(8^n-1+6)

10.某廠在2008年底制訂生產計劃，要使2018年底的總產量在原有基礎上翻兩番，則年總產量增長率為（   ）

A．      B．       C．     D．

10.A提示：依題意可得.

（文科１１題）設等差數列的前項和為，且，則等于（   ）

    A. 168             B. 286              C. 78                D. 152

11.B   提示：由已知得，則S₁₃=286．

11．下圖給出的是計算的值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是（    ）．

A．.i>100  B．i<＝100 　　　C．i>50 　　　D．i<＝50

（文科第１２題）設是等差數列的前項和，，則等于　（    ）

    A. 15             B. 16               C. 17                 D. 18

12.D       提示：由得，再由．

12．求得和的最大公約數是（    ）

A．     B．    C．    D．

13.已知數列中，則等于           

14.已知兩個等差數列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數的正整數的個數是              

15.已知等差數列有一性質：若{a_n}是等差數列.則通項為b_n=的數列{b_n}也是等差數列，類似上述命題，相應的等比數列有性質：若{a_n}是等比數列（a_n＞0）,則通項為b_n=__________的數列{b_n}也是等比數列.

（文科第16題）已知函數,等差數列的公差為.若,則            .

16.-6

16．下面是一個算法的流程圖，回答下面的問題：

當輸入的值為3時,輸出的結果為                 ．

17.在數列中，表示該數列的前n項和.若已知

（1）求證：數列是等比數列；

（2）求數列的通項公式.

18．（本小題滿分12分）設數列{a_n}的前n項和為，已知a₁=1，S_n=na_n－2n(n－1) (n)

（1）求證：數列{a_n}是等差數列；

（2）求的值.

19．（本小題滿分12分）等差數列{a_n}的前n項和為，，.

（1）求數列{a_n}的項與前n項和；

（2）設，求證：數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數列.

20．某種商品進價每個80元，零售價每個100元，為了促銷，采用每買一個這樣的商品贈送一個小禮品。實驗表明：禮品價值1元時銷售量增加10%，且在一定范圍內禮品價值為n+1元時，比禮品價值為n元時（n∈N^*）的銷售增加10%，請你設計禮品價值以使商品獲得最大利潤.

21.．設數列的前項和為，且滿足

⑴求數列的通項公式；

⑵若數列滿足且求數列的通項公式；

⑶設，求數列的前項和。

22．如果有窮數列a₁,a₂,…a_m(m為正整數)滿足條件a₁= a_m，a₂= a_m－1，…，a_m=a₁，即a_i=a_m－i＋1(i=1,2, …,m),我們稱其為“對稱數列”.

（1）設{b_n}是7項的“對稱數列”，其中b_1，b_2，b_3，b₄是等差數列，且b₁=2, b₄=11，依次寫出{b_n}的每一項；

（2）設{C_n}是49項的“對稱數列”，其中C₂₅,C₂₆,…,C₄₉是首項為1，公比為2 的等比數列，求{C_n}各項的和S.

（3）設{d_n}是100項的“對稱數列”，其中d₅₁,d₅₂, …,d₁₀₀是首項為2，公差為3的等差數列，求{d_n}前n項的和S_n(n=1,2, …,100).