題目列表(包括答案和解析)
已知數列
的前
項和為
，且滿足
(
)，
，設
，
．
（1）求證：數列
是等比數列；
（2）若
≥
，，求實數
的最小值；
（3）當
時，給出一個新數列
，其中
，設這個新數列的前項和為
，若可以寫成
(
且
)的形式，則稱為“指數型和”．問
中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．
已知數列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用
關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結論。
解：(Ⅰ)當
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數學歸納法）①當
時, 
,命題成立;
②假設
時,命題成立,即
,
則當
時,
即
即
故當時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
已知數列
的前
項和為
，且滿足
(
)，
，設
，
．
（1）求證：數列
是等比數列；
（2）若
≥
，，求實數
的最小值；
（3）當
時，給出一個新數列
，其中
，設這個新數列的前項和為
，若可以寫成
(
且
)的形式，則稱為“指數型和”．問
中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．
的前
項和為
，且滿足
(
)，
，設
，
．
是等比數列；
≥
，，求實數
的最小值；
時，給出一個新數列
，其中
，設這個新數列的前項和為
，若可以寫成
(
且
)的形式，則稱為“指數型和”．問
中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．
一、選擇題
1. D
解析:∵a3+a7+a11=3a7為常數，
∴S13=
=13a7，也是常數.
2. C
解析:∵易知q≠1,S6∶S3=1∶2
=
,q3=-,
∴S9∶S3=
=1+q3+q6=1-+(-)2=
.
3．A 
，
又
4．D 數列
是以2為首項，以
為公比的等比數列，項數為
故選D。
5.B
6. D
解析:當q=1時，Sn,Sn+1,Sn+2構成等差數列；
當q=-2時，Sn+1,Sn,Sn+2構成等差數列；
當q=-時，Sn,Sn+2,Sn+1構成等差數列.
７．A 僅②不需要分情況討論，即不需要用條件語句
8. D
9. D
解析:易知an=
∴a13+a23+…+an3=23+81+82+…+8n-1=8+
=
(8n-1+6).
10.A提示：依題意
可得.
１１．B，
指輸入的數據．
１２．D
（法一）輾轉相除法：
∴
是
和
的最大公約數．
（法二）更相減損術：
∴是和的最大公約數．
二、填空題
13.
14. 
當
時，
是正整數。
15.
解析:bn==
=a1
,bn+1=a1
,
=
(常數).
16．-6
三、解答題
17．解（1）
以3為公比的等比數列.
（2）由（1）知，
.
.
不適合上式，
.
18．解：（1）an=
（2）
.
19．解：(1)
，
；
（2）由（1）得
，假設數列{bn}中存在三項bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比數列，則
即
∴
，
，
，得
∴p=r，矛盾. ∴數列{bn}中任意三項都不可能成等比數列.
20.解：設未贈禮品時的銷售量為a0個，而贈送禮品價值n元時銷售量為an個，
，
又設銷售利潤為數列
，
當
，
考察
的單調性，
當n=9或10時，最大
答：禮品價值為9元或10元時商品獲得最大利潤.
21.解析：（1）
時，
即
兩式相減：
即
故有
。
數列
為首項
公比
的等比數列。
（2）
則
又
（3）
①
而
②
①-②得：
22.解：（1）b4=b1＋3d 即11=2＋3d，
∴b1=2,
b2=5, b3=8, b4=11,
b5=8, b6=5, b7=2；
（2）S=C1＋C2＋…＋C49=2(C25＋C26＋…＋C49)－C25=
；
（3）
,d100=2＋3×49=149，∴d1, d2,…d50是首項為149，公差為－3的等差數列.
當n≤50時，
當51≤n≤100時,Sn=d1＋d2＋…d50=S50＋(d51＋d52＋…dn)
=3775＋(n－50)×2＋
=
∴綜上所述,
.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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