對于正整數n，數列a₁，a₂，…，a_k在滿足下列條件下稱為關于（1，2，3，…，n）的萬能數列：自然數1，2，3，…，n的任意一個排列都能從數列a₁，a₂，…，a_k中去掉一些項后得到．
（1）構造一個有n²項的關于（1，2，3，…，n）的萬能數列的例子，并證明；
（2）構造一個有n²-n+1個項的關于（1，2，3，…，n）的萬能數列的例子并證明；
（3）判斷數列A：是否是關于（1，2，3，…，n）的萬能數列，并證明你的結論．

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設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記.（1）（1）求數列與數列的通項公式；
（2）設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立？若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由．
（3）記，設數列的前項和為，求證：對于都有

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一、選擇題

1. D

解析:∵a₃+a₇+a₁₁=3a₇為常數，

∴S₁₃==13a₇，也是常數.

2. C

解析:∵易知q≠1,S₆∶S₃=1∶2=,q³=-,

∴S₉∶S₃==1+q³+q⁶=1-+(-)²=.

3．A ，

又

4．D  數列是以2為首項，以為公比的等比數列，項數為故選D。

5.B

6. D

解析:當q=1時，S_n,S_n+1,S_n+2構成等差數列；

當q=-2時，S_n+1,S_n,S_n+2構成等差數列；

當q=-時，S_n,S_n+2,S_n+1構成等差數列.

７．A   僅②不需要分情況討論，即不需要用條件語句

8. D

9. D

解析:易知a_n=

∴a₁³+a₂³+…+a_n³=2³+8¹+8²+…+8^n-1=8+=(8^n-1+6).

10.A提示：依題意可得.

１１．B，指輸入的數據．

１２．D 

（法一）輾轉相除法：         

∴是和的最大公約數．

（法二）更相減損術：

        ∴是和的最大公約數．

二、填空題

13.

14.

當時，是正整數。

15.

解析:b_n===a₁,b_n+1=a₁,=(常數).

16．-6

三、解答題

17．解（1）

      以3為公比的等比數列.

 （2）由（1）知，..

      不適合上式，

       .

18．解：（1）a_n=    （2）.

19．解：(1)，；

（2）由（1）得，假設數列{b_n}中存在三項b_p,b_q,b_r(p,q,r互不相等)成等比數列，則 即

∴，，，得

∴p=r，矛盾.  ∴數列{b_n}中任意三項都不可能成等比數列.

20.解：設未贈禮品時的銷售量為a₀個，而贈送禮品價值n元時銷售量為a_n個，

，

又設銷售利潤為數列，

當，

考察的單調性，

當n=9或10時，最大

答：禮品價值為9元或10元時商品獲得最大利潤.

21.解析：（1）時，

即

兩式相減：

即故有

。

數列為首項公比的等比數列。

（2）

則

又

（3）

   ①

而   ②

①-②得：

22.解：（1）b₄=b₁＋3d  即11=2＋3d， ∴b₁=2, b₂=5, b₃=8, b₄=11, b₅=8, b₆=5, b₇=2；

（2）S=C₁＋C₂＋…＋C₄₉=2(C₂₅＋C₂₆＋…＋C₄₉)－C₂₅=；

（3）,d₁₀₀=2＋3×49=149，∴d₁, d₂,…d₅₀是首項為149，公差為－3的等差數列.  

當n≤50時，

當51≤n≤100時,S_n=d₁＋d₂＋…d₅₀=S₅₀＋(d₅₁＋d₅₂＋…d_n)

                   =3775＋(n－50)×2＋=

∴綜上所述,.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m