青島市2009年高三教學統一質量檢測
數學（理） 2009.3
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分.考試時間120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務必用2B鉛筆和0.5毫米黑色簽字筆（中性筆）將姓名、準考證號、考試科目、試卷類型填涂在答題卡規定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答案不能答在試題卷上．
3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆（中性筆）作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按以上要求作答的答案無效．
4．參考公式：
，標準差
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．復數
是虛數單位
的實部是
A．
B．
C．
D．
2.已知等差數列
的公差為
，且
，若
，則
為
A．
B. 
C．
D. 
3.已知直線
⊥平面
，直線
平面
，下面有三個命題：
①∥
⊥；②⊥∥；③∥⊥； 則真命題的個數為
A．
B． 
C．
D．
4．如右圖，一個簡單空間幾何體的三視圖其主視圖與左視圖
都是邊長為的正三角形,其俯視圖輪廓為正方形，則其體積是
A．
B. 
C． 
D. 
5．設點
，則
為坐標原點的最小值是
A．
B. 
C．
D.
6．學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為
的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在
元的同學有
人，則的值為
A．
B. 
C．
D. 
7.已知
的二項展開式的各項系數和為
，則二項展開式中
的系數為
A． B. 
C．
D. 
8．若右面的程序框圖輸出的
是
，則①應為
A．
？ B.
？
C．
？ D.
？
9.已知
，則“
”是“
恒成立”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
10.設函數
，則下列結論正確的是
A．
的圖像關于直線
對稱
B．的圖像關于點
對稱
C．把的圖像向左平移
個單位，得到一個偶函數的圖像
D．的最小正周期為
，且在
上為增函數
11．已知點
、
分別為雙曲線
：
的左焦點、右頂點，點
滿足
，則雙曲線的離心率為
A．
B.
C． 
D.
12.已知直線
及
與函數
圖像的交點分別為
，與函數
圖像的交點分別為
，則直線
與
A.相交，且交點在第I象限 B.相交，且交點在第II象限
C.相交，且交點在第IV象限 D.相交，且交點在坐標原點
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
13．
；
14．已知
，則
的值為
；
15．已知集合
,從集合中任選三個不同的元素
組成集合
，則能夠滿足
的集合
的概率為=
；
16．定義：區間
的長度為
.已知函數
的定義域為
，值域為
，則區間的長度的最大值與最小值的差為_________.
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17. （本小題滿分12分）
在
中，分別是
的對邊長，已知
.
(Ⅰ)若
,求實數的值;
(Ⅱ)若
,求面積的最大值.
18．（本小題滿分12分）
在一個盒子中，放有標號分別為，，的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽
得兩張卡片的標號分別為、
，設
為坐標原點，點
的坐標為
，記
．
(Ⅰ)求隨機變量
的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
(Ⅱ)求隨機變量的分布列和數學期望．
19．（本小題滿分12分）
已知函數
且
,求函數
的極大值與極小值.
20．（本小題滿分12分）
在四棱錐
中，
平面
，底面為矩形，
.
(Ⅰ)當
時，求證：
；
(Ⅱ)若
邊上有且只有一個點
，使得
，
求此時二面角
的余弦值.
21．（本小題滿分12分）
已知
均在橢圓
上，直線、
分別過橢圓的左右焦點
、
，當
時，有
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設是橢圓上的任一點，
為圓
的任一條直徑，求
的最大值.
22．（本小題滿分14分）
已知等比數列的前項和為
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設數列
滿足
，
為數列 的前項和，試比較
與 
的大小，并證明你的結論．
青島市2009年高三教學統一質量檢測
數學（理）答案及評分標準 2009.3
二、填空題：
13．
； 14.
；15. 
；16. 
；
17. 解:(Ⅰ) 由兩邊平方得:
即
解得: 
…………………………3分
而可以變形為
即
，所以
…………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,則
…………………………7分
又
…………………………8分
所以
即
…………………………10分
故
………………………………12分
18．解:(Ⅰ)
、可能的取值為、、，
，
，
，且當
或
時，
． 因此，隨機變量的最大值為…………………………4分
有放回抽兩張卡片的所有情況有
種，
…………………6分
(Ⅱ)的所有取值為
．
時，只有
這一種情況．
時，有
或
或
或
四種情況，
時，有
或
兩種情況．
，
，
…………………………8分
則隨機變量的分布列為：
………………10分
因此，數學期望
…………………………12分
19．解：由題設知
令
……………………………2分
當
時，隨的變化，
與
的變化如下：
0
+
0
-
0
+
極大
極小
，
………6分
當
時，隨的變化，與的變化如下：
-
0
+
0
-
極小
極大
，…………11分
總之，當時，，；
當時，，……12分
20. 解：(Ⅰ)當時，底面
為正方形，
又因為
,
面
…………………………2分
又
面
…………………………3分
(Ⅱ) 因為
兩兩垂直，分別以它們所在直線
為軸、軸、
軸建立坐標系，如圖所示，令
，可得
則
…………………4分
設
，則
要使，只要
即
………6分
由
，此時。
所以邊上有且只有一個點，使得時，
為
的中點，且
…………………………8分
設面
的法向量
則
即
解得
…………………………10分
取平面
的法向量
則
的大小與二面角的大小相等
所以
因此二面角的余弦值為
…………………………12分
21. 解:(Ⅰ)因為，所以有
所以
為直角三角形；
…………………………2分
則有
所以，
…………………………3分
又
，
………………………4分
在中有
即
，解得
所求橢圓方程為
…………………………6分
(Ⅱ)
從而將求的最大值轉化為求
的最大值…………………………8分
是橢圓上的任一點，設
，則有
即
又
，所以
………………………10分
而
,所以當
時，取最大值
故的最大值為
…………………………12分
22．解：（Ⅰ）由得:
時，
………………………2分
是等比數列，
，得 
……4分
（Ⅱ）由和
得
……………………6分
……10分
………………………11分
當
或
時有
，所以當
時有
那么同理可得：當
時有
，所以當
時有
………………………13分
綜上：當時有；當時有………………………14分
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