Question

【題目】已知，在中，，點為邊上一動點，且，連接，其中．

問題發現：（1）如圖1，若，與有怎樣的數量關系？的值為多少？直接寫出答案；

類比探究，（2）如圖2，若，點在的延長線上，與有怎樣的數量關系？的值為多少？請說明理由．

拓展應用：（3）如圖3，在中，，，為上一點，以為邊，在如圖所示位置作正方形，點為正方形的對稱中心，且，請直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）∠BCE＝∠A＝60°；k＝1；（2）∠BCE＝∠A，k＝，理由見解析；（3）

【解析】

（1）證明，得，即可得解；

（2）先證明△ABC∽△DBE，，結合∠ABD＝∠CBE，根據對應邊成比例且夾角相等可證明△ABD∽△CBE，即可得出結論；

（3）連接BO、OD，通過證明∽，再根據相似三角形對應邊成比例，求出DC，進而求出AD，再利用勾股定理求DB，則DE=DB．

解：（1）∵， ，

∴為等邊三角形，

∴，，

又∵且，

∴為等邊三角形，

∴，，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴

故答案為：，．

（2）∠BCE＝∠A，k＝．

理由如下：∵∠BAC＝∠BDE，AB＝AC，BD＝DE，

∴∠ABC＝∠DBE，

∴△ABC∽△DBE，

∴，

又∵∠ABC＋∠CBD＝∠DBE＋∠CBD，即∠ABD＝∠CBE

∴△ABD∽△CBE（對應邊成比例，夾角相等），

∴，；

（3）如圖，連接BO、OD，

∵四邊形為正方形，點為正方形的對稱中心，

∴，，

∵為等腰直角三角形，

∴，，

∴，

∴∽，

∴，即，

∴，

∴，

∴，

故的長為：．