Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90°，AB＝AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD＝CF，BD⊥CF成立．

（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD＝CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長DB交CF于點H.

①求證：BD⊥CF；

②當AB＝2，AD＝3時，求線段DH的長．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CF成立，理由詳見解析；（2）①詳見解析；②.

【解析】

試題分析：（1）先用“SAS”證明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性質即可得BD＝CF成立；（2）利用△HFN與△AND的內角和以及它們的等角，得到∠NHF＝90°,即可得①的結論；（3）連接DF，延長AB，與DF交于點M，利用△BMD∽△FHD求解.

試題解析：（l）解：BD＝CF成立．

證明：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,△ABD≌△ACF,∴BD＝CF.

（2）①證明：由（1）得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN，

在△HFN與△ADN中，∵∠HFN＝∠AND，∠HNF＝∠AND,∴∠NHF＝∠NAD＝90°,

∴HD⊥HF,即BD⊥CF.

②解：如圖，連接DF，延長AB，與DF交于點M.

在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°.

在Rt△BMD與Rt△FHD中，∵∠MDB＝∠HDF,∴△BMD∽△FHD.

∴AB＝2，AD＝3，四邊形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝＝3.

∴MB＝3－2＝1,DB＝＝.

∵＝.∴＝.

∴DH＝.