Question

【題目】如圖，在△ABC中， AB=AC，D 為 BC 邊上任意一點，以AD為底邊向左側作等腰△ADE，∠AED=∠ABC ，連接 ．

（1）如圖 ① ，當∠ABC=60°時，易證：CD=BE（不需要證明）；

（2）當∠ABC=90°時，如圖 ② ；當∠ABC=120°時，如圖 ③ ；線段CD和BE又有怎樣的關系? 并選擇一個圖形證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圖②的結論是：；圖 ③ 的結論是：，證明過程見解析.

【解析】

(1)△EAD為等腰三角形，當∠ABC=60°=∠AED時，可推出△AED為等邊三角形，進一步證明△AEB≌△ADC，即得到CD=BE；

(2)當∠ABC=90°=∠AED時，此時△AED、△ABC變成等腰直角三角形，∴∠EAD=∠BAC=45°，可推出∠EAB=∠DAC，且，故可證明△AEB∽△ADC，即可得到；

當∠ABC=120°=∠AED時，此時△AED、△ABC變成30°、30°、120°的等腰三角形，同樣可證明△AEB∽△ADC，即可得到.

解：(1) 證明：∵△EAD為等腰三角形，且∠ABC=60°=∠AED，

∴△AED變成等邊三角形，∴∠EAD=∠BAC，

又∠EAB=60°-∠BAD，∠DAC=60°-∠BAD

∴∠EAB=∠DAC，

在△AEB和△ADC中：

∴△AEB≌△ADC，

∴CD=BE.

(2)圖②的結論是：

圖③的結論是：．

下面選擇圖②進行證明：

證明：

∴△AED，△ABC都是等腰直角三角形，

∴∠CAD+∠DAB=∠EAB+∠BAD=45°

∴∠CAD=∠BAE

∴△BAE∽△CAD

.

故答案為：.