Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，∠COB＝60°，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．

（1）求證：CE為⊙O的切線；

（2）若CE＝，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2.

【解析】

（1）由點D是弧AC的中點，連接OC，可得圓心角等，再利用已知，∠COB=60°，可得∠AOD和∠COD均為60°，從而△AOD和△COD均為等邊三角形，

進一步推出OC∥AE，然后利用已知CE⊥AD，可得∠OCE=90°，從而CE為⊙O的切線．

（2）利用△AOD和△COD均為等邊三角形，推出∠ECD等于30°，在直角三角形ECD中，已知CE=，利用三角函數可以求出CD，從而求得半徑．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵點D是弧AC的中點，

∴∠AOD＝∠COD＝

又∵∠COB＝60°，

∴∠AOD＝∠COD＝60°，

∵OA＝OD，

∴△AOD為等邊三角形，

∴∠A＝∠COB＝60°，

∴OC∥AE，

∴∠OCE+∠E＝180°

∵CE⊥AD，

∴∠E＝90°，

∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE，

∵OC為⊙O的半徑，

∴CE為⊙O的切線，

（2）由（1）知△AOD和△COD均為等邊三角形，CE＝，

∴OC＝CD，∠OCD＝60°，

∴∠ECD＝90°﹣60°＝30°，

∴cos∠ECD＝，

∴CD＝2，即⊙O的半徑為2．