Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A(-4，-4)，B(0，4)兩點，直線AC：y=-x-6交y軸與點C.點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G.

（1）求拋物線y=-x2+bx+c的表達式；

（2）連接GB、EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；

（3）①在y軸上存在一點H，連接EH、HF，當點E運動到什么位置時，以A、E、F、H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E、H的坐標；

②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求AM+CM的最小值.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+4；（2）G(-2，4)；（3）①H(0，-1)；②

【解析】分析：（1）利用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）先利用待定系數法求出直線AB的解析式，進而利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解即可；

（3）①先判斷出要以點A，E，F，H為頂點的四邊形是矩形，只有EF為對角線，利用中點坐標公式建立方程即可；

②先取EG的中點P進而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM=AM，連接CP交圓E于M，再求出點P的坐標即可得出結論．

詳解：（1）（1）∵點A（-4，-4），B（0，4）在拋物線y=-x2+bx+c上，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+4；

（2）設直線AB的表達式為y=kx+b

∵直線AB過點A(-4，-4)，B(0，4)，

∴，解得，

∴y=2x+4

設E(m，2m+4)，則G(m，-m2-2m+4)

∵四邊形GEOB是平行四邊形，

∴GE=OB=4，

∴-m2-2m+4-2m-4=4，解得m=-2

∴G(-2，4)

（3）①設E(m，2m+4)，則F(m，-m-6)

過A作AN⊥EG，過H作HQ⊥EG

四邊形AFHE是矩形，∴△PFN≌△HEQ，∴AN=QH，∴m+4=-m，解得m=-2，E(-2，0)

EQ=FN=-4+m+6=1

∴H(0，-1)

②由題意可得，E(-2，0)，H(0，-1),∴EH=，即⊙E的半徑為，

∵M點在⊙E上，∴EM=

∵A(-4，-4)，E(-2，0)，∴AE=2

在AE上截取EP=EM，則EP=，連接PM，

在ΔEPM與ΔEMA中，∵====，∠PEM=∠MEA，∴ΔEPM∽ΔEMA∴PM=AM

∴線段PC的長即為AM+CM的最小值

由EP=EM=AE=×2=，AP=AE-PE= , AC=2 ∴PC=

即AM+CM的最小值為.