Question

【題目】如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點G，現將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長BE和DF相交于點C．

（1）求證：四邊形ABCD是正方形；

（2）連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數量關系，并說明理由．

（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）MN2=ND2+DH2，理由見解析；（3）

【解析】

（1）由圖形翻折變換的性質可知∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD即可得出結論；

（2）連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°，故∠NDH=90°，再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，由勾股定理即可得出結論；

（3）設AG=x，則EC=x-4，CF=x-6，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的長，設NH=y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．

（1）證明：∵△AEB由△AED翻折而成，

∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，

∵△AFD由△AFG翻折而成，

∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，

∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，

∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∵AB=AD，

∴四邊形ABCD是正方形；

（2）MN2=ND2+DH2，

理由：連接NH，

∵△ADH由△ABM旋轉而成，

∴△ABM≌△ADH，

∴AM=AH，BM=DH，

∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，

∴∠ADH=∠ABD=45°，

∴∠NDH=90°，

∵，

∴△AMN≌△AHN，

∴MN=NH，

∴MN2=ND2+DH2；

（3）設AG=BC=x，則EC=x-4，CF=x-6，

在Rt△ECF中，

∵CE2+CF2=EF2，即（x-4）2+（x-6）2=100，x1=12，x2=-2（舍去）

∴AG=12，

∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，

∴BD==，

∵BM=3，

∴MD=BD-BM=12-3=9，

設NH=y，

在Rt△NHD中，

∵NH2=ND2+DH2，即y2=（9-y）2+（3）2，解得y=5，即MN=5．