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2009中考語文模擬試卷
（滿分１５０分，１２０分鐘完卷）
班級(jí) 姓名 得分
題號(hào)
一
二
三
四
總分
評(píng)卷人
（一）
（二）
（一）
（二）
2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)
專題六 導(dǎo) 數(shù)
1.
設(shè)函數(shù)
，（1）若當(dāng)
時(shí)，
取得極值，求
的值，并討論的單調(diào)性；（2）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于
．
解析：（1）
，依題意有
，故
．
從而
．
的定義域?yàn)?sub>
，當(dāng)
時(shí)，
；
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，．
從而，分別在區(qū)間
單調(diào)增加，在區(qū)間
單調(diào)減少．
（2）的定義域?yàn)?sub>
，
．
方程
的判別式
．
①若
，即
，在的定義域內(nèi)，故的極值．
②若
，則
或
．若
，
，
．
當(dāng)
時(shí)，
，當(dāng)
時(shí)，，所以無極值．若，
，
，也無極值．
③若
，即
或
，則有兩個(gè)不同的實(shí)根
，
．
當(dāng)時(shí)，
，從而
有的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，故無極值．
當(dāng)時(shí)，
，
，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知在
取得極值．
綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為
．的極值之和為
．
答案： （1）；（2）見詳解。
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)極值概念的理解以及對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用。
2. 已知函數(shù)
處取得極值2。
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，在區(qū)間
為增函數(shù)；
（Ⅲ）若
圖象上任意一點(diǎn)，直線
的圖象切于P點(diǎn)，求直線L的斜率的取值范圍。
解：（Ⅰ）
由已知
（Ⅱ）
又在
）
（Ⅲ）直線I在P點(diǎn)的切線斜率
令
當(dāng)
）
3.
設(shè)
是
的兩個(gè)極值點(diǎn)，
的導(dǎo)函數(shù)是
（Ⅰ）如果
，求證：
；
（Ⅱ）如果
，求
的取值范圍
；
（Ⅲ）如果
，且
時(shí)，函數(shù)
的最小值為
，求的最大值。
（I）證明：
是方程
的兩個(gè)根 1分
由且
得
2分
得
3分
（Ⅱ）解：由第（1）問知
由
，兩式相除得
即
4分
①當(dāng)
時(shí)，由
即
， 
5分
令函數(shù)
，則
在
上是增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，
，即
7分
②當(dāng)
時(shí)，
即
令函數(shù)
則同理可證
在
上是增函數(shù)
當(dāng)
時(shí)，
綜①②所述，的取值范圍是
（Ⅲ）解：
的兩個(gè)根是 ，可設(shè)
10分
又
g(x) 
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時(shí)取等號(hào)
當(dāng)時(shí)，
在
上是減函數(shù)
2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)
專題1 函數(shù)
考點(diǎn)一：函數(shù)的性質(zhì)與圖象
1. 已知
，函數(shù)
。設(shè)
，記曲線
在點(diǎn)
處的切線為
。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)設(shè)與
軸交點(diǎn)為
。證明：
① 
；
② 若
，則
(Ⅰ)分析：欲求切線的方程，則須求出它的斜率，根據(jù)切線斜率的幾何意義便不難發(fā)現(xiàn)，問題歸結(jié)為求曲線在點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值。
解：求
的導(dǎo)數(shù)：
，由此得切線的方程：
。
(Ⅱ)分析：①要求
的變化范圍，則須找到使產(chǎn)生變化的原因，顯然，變化的根本原因可歸結(jié)為
的變化，因此，找到與的等量關(guān)系式，就成；②
欲比較與的大小關(guān)系，判斷它們的差的符號(hào)即可。
證：依題意，切線方程中令y＝0，
.
①
由
.
②
。
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的方法，考查不等式的基本性質(zhì)，以及分析和解決問題的能力。
考點(diǎn)二：二次函數(shù)
2. 已知二次函數(shù)
，設(shè)方程
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為
和
.
(1)如果
，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為
，求證：
；
(2)如果
，
，求
的取值范圍.
分析：條件實(shí)際上給出了的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化.
解：設(shè)
，則
的二根為和.
(1)由及，可得 
，即
，即
兩式相加得
，所以，;
(2)由
，
可得 
.
又
，所以
同號(hào).
∴ ，等價(jià)于
或
，
即 
或
解之得 
或
.
點(diǎn)評(píng)：在處理一元二次方程根的問題時(shí)，考察該方程所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像特征的充要條件是解決問題的關(guān)鍵。
考點(diǎn)三：抽象函數(shù)
3. A是由定義在
上且滿足如下條件的函數(shù)
組成的集合：①對(duì)任意
，都有
； ②存在常數(shù)
，使得對(duì)任意的
，都有
(Ⅰ)設(shè)
，證明：
(Ⅱ)設(shè)，如果存在
，使得
，那么這樣的
是唯一的;
(Ⅲ)設(shè)，任取
，令
證明:給定正整數(shù)k，對(duì)任意的正整數(shù)p，成立不等式
解：對(duì)任意，
，
，
，所以
對(duì)任意的，
，
，
所以0＜
，
令＝
，
，
所以
反證法:設(shè)存在兩個(gè)
使得，
則
由
，得
，所以
，矛盾，故結(jié)論成立。
，所以
＋…
點(diǎn)評(píng)：本題以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景，與初等數(shù)學(xué)知識(shí)巧妙結(jié)合，考查了函數(shù)及其性質(zhì)、不等式性質(zhì)，考查了特殊與一般、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。
考點(diǎn)四：函數(shù)的綜合應(yīng)用
4.
設(shè)函數(shù)
．
(Ⅰ)求的最小值
；
(Ⅱ)若
對(duì)
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
解：(Ⅰ)
，
當(dāng)
時(shí)，取最小值
，
即
．
(Ⅱ)令
，
由
得
，
(不合題意，舍去)．
當(dāng)
變化時(shí)
，
的變化情況如下表：
(0，1)
(1，2)
遞增
極大值
遞減
在
內(nèi)有最大值
．
在內(nèi)恒成立等價(jià)于
在內(nèi)恒成立，
即等價(jià)于
，
所以的取值范圍為
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力．
5. 乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v(千米／時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元.
① 把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米／時(shí))的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；
② 為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？
分析：幾個(gè)變量(運(yùn)輸成本、速度、固定部分)有相互的關(guān)聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關(guān)系，并求函數(shù)的最小值.
解：(讀題)由主要關(guān)系：運(yùn)輸總成本＝每小時(shí)運(yùn)輸成本×?xí)r間，
(建模)有y＝(a＋bv
)
(解題)所以全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米／時(shí))的函數(shù)關(guān)系式是：
y＝S(
＋bv)，其中函數(shù)的定義域是v∈(0，c] .
整理函數(shù)有y＝S(＋bv)＝S(v＋
)，
由函數(shù)y＝x＋
(k＞0)的單調(diào)性而得：
當(dāng)
＜c時(shí)，則v＝時(shí)，y取最小值；
當(dāng)≥c時(shí)，則v＝c時(shí)，y取最小值.
綜上所述，為使全程成本y最小，當(dāng)＜c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v＝；當(dāng)≥c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v＝c.
點(diǎn)評(píng)：1.對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題，可以通過建立目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用解(證)不等式的方法求出函數(shù)的最大值或最小值，其中要特別注意蘊(yùn)涵的制約關(guān)系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現(xiàn)解答不完整.此種應(yīng)用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型.
6.
設(shè)函數(shù)
.
(1)在區(qū)間
上畫出函數(shù)
的圖像；
(2)設(shè)集合
. 試判斷集合
和
之間的關(guān)系，并給出證明；
(3)當(dāng)
時(shí)，求證：在區(qū)間
上，
的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
解：(1)
(2)方程
的解分別是
和
，由于在
和
上單調(diào)遞減，在
和
上單調(diào)遞增，因此
.
由于
.
(3)[解法一] 當(dāng)
時(shí)，
.
，
. 又
，
①
當(dāng)
，即
時(shí)，取
，
.
，
則
.
②
當(dāng)
，即
時(shí)，取
， ＝
.
由 ①、②可知，當(dāng)時(shí)，
，.
因此，在區(qū)間上，
的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
[解法二] 當(dāng)時(shí)，.
由
得
，
令 
，解得
或
，
在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，
的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點(diǎn)
；
當(dāng)時(shí)，
的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn).
如圖可知，由于直線過點(diǎn)
，當(dāng)時(shí)，直線是由直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
7.
設(shè)f(x)＝3ax
，f(0)＞0，f(1)＞0，求證：
(Ⅰ)a＞0且－2＜
＜－1；
(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.
(I)證明：因?yàn)?sub>
，所以
.
由條件
，消去，得
；
由條件，消去
，得
，
.
故
.
(II)拋物線
的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
，
在的兩邊乘以
，得
.
又因?yàn)?sub>
而
所以方程
在區(qū)間
與
內(nèi)分別有一實(shí)根。
故方程在
內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.
8.
已知定義域?yàn)?sub>
的函數(shù)
是奇函數(shù)。
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若對(duì)任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范圍；
解：(Ⅰ)因?yàn)?sub>是奇函數(shù)，所以
＝0，即
又由f(1)＝ －f(－1)知
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知
，易知在
上
為減函數(shù)。又因是奇函數(shù)，從而不等式：
等價(jià)于
，因為減函數(shù)，由上式推得：
．即對(duì)一切有：
，
從而判別式
解法二：由(Ⅰ)知
．又由題設(shè)條件得： 
，
即�。�
，
整理得 
上式對(duì)一切均成立，從而判別式
9.
設(shè)函數(shù)f(x)＝
其中a為實(shí)數(shù).
(Ⅰ)若f(x)的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，求f(x)的單減區(qū)間.
解：(Ⅰ)的定義域?yàn)?sub>
，
恒成立，
，
，即當(dāng)
時(shí)的定義域?yàn)?sub>．
(Ⅱ)
，令
，得
．
由
，得
或
，又
，
時(shí)，由
得
；
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，由得
，
即當(dāng)
時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為
；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為
．
10.
已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)
，
，其中
．設(shè)兩曲線
，
有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．
(I)用
表示，并求的最大值；
(II)求證：
(
)．
解：(Ⅰ)設(shè)與
在公共點(diǎn)
處的切線相同．
，
，由題意
，
．
即
由
得：
，或
(舍去)．
即有
．
令
，則
．于是
當(dāng)
，即
時(shí)，
；
當(dāng)
，即
時(shí)，
．
故在
為增函數(shù)，在
為減函數(shù)，
于是在
的最大值為
．
(Ⅱ)設(shè)
，
則
．
故
在
為減函數(shù)，在
為增函數(shù)，
于是函數(shù)在上的最小值是
．
故當(dāng)時(shí)，有
，即當(dāng)時(shí)，
．
南京市第十三中學(xué)2008―2009學(xué)年度高三第二次三周考試物理試題
命題人：孟振洲 審核人：成小寅
友情提醒：本試卷?分120分，考試時(shí)間100分鐘．請(qǐng)將答案填寫在答題卡上，直接寫在試卷上不得分．
2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)
專題四 解析幾何
考點(diǎn)一 曲線（軌跡）方程的求法
1.
設(shè)
上的兩點(diǎn)，
滿足
，橢圓的離心率
短軸長(zhǎng)為2，0為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由.
解析：本例（1）通過
，
，及
之間的關(guān)系可得橢圓的方程；（2）從方程入手，通過直線方程與橢圓方程組成方程組并結(jié)合韋達(dá)定理；（3）要注意特殊與一般的關(guān)系，分直線的斜率存在與不存在討論。
答案：（1）
橢圓的方程為
（2）設(shè)AB的方程為
由
由已知
2
（3）當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí)，B必為頂點(diǎn).S△AOB=1
當(dāng)A，B不為頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+b
所以三角形的面積為定值.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的基本概念和性質(zhì)，二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解析幾何的基本思想方法以及運(yùn)用綜合知識(shí)解決問題的能力。
2.
在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A（0，－1），B（0, 1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足①
, ②
= 
= 
③
∥
（1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程
（2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（
, 0） ，已知
∥
, 
∥
且?= 0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.
解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表達(dá)點(diǎn)特征；（2）要把握好直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，靈活的運(yùn)算技巧是解決好本題的關(guān)鍵。
答案：（1）設(shè)C ( x , y )， 
,由①知
,
G為
△ABC的重心 ， G(
,
) 由②知M是△ABC的外心，
M在x軸上
由③知M（，0），
由
得
化簡(jiǎn)整理得：
（x≠0）。
（2）F（，0 ）恰為的右焦點(diǎn)
設(shè)PQ的斜率為k≠0且k≠±
，則直線PQ的方程為y = k ( x －)
由
設(shè)P(x1 , y1) ，Q (x2
,y2 ) 則x1 + x2 = 
, x1?x2 =
則| PQ | =
? 
= ?
= 
RN⊥PQ,把k換成
得 | RN | = 
S =
| PQ | ?
| RN |
=
=
)
≥2 ， 
≥16
≤ S < 2 ， (當(dāng) k = ±1時(shí)取等號(hào))
又當(dāng)k不存在或k = 0時(shí)S = 2
綜上可得
≤ S ≤ 2
Smax
= 2 ， Smin =
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的有關(guān)知識(shí)，橢圓與直線的基本關(guān)系，二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及不等式，轉(zhuǎn)化的基本思想方法以及運(yùn)用綜合知識(shí)解決問題的能力。
考點(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
3.
如圖，F(xiàn)為雙曲線C：
的右焦點(diǎn)
P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于
軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn) 已知四邊形
為平行四邊形，
（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率
與
的關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若
，求此時(shí)的雙曲線方程
分析: 圓錐曲線的幾何性質(zhì)結(jié)合其它圖形的考查是重點(diǎn)。注意靈活應(yīng)用第二定義。
解：∵四邊形是
，∴
，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則
，又
，
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
，
，
，雙曲線為
四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為
，則直線AB的方程為
，代入到雙曲線方程得：
，
又，由
得：
，解得
，則
，所以
為所求
點(diǎn)評(píng)：本題靈活的運(yùn)用到圓錐曲線的第二定義解題。
4.
設(shè)
分別為橢圓
的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且
為它的右準(zhǔn)線
（Ⅰ）、求橢圓的方程；
（Ⅱ）、設(shè)
為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)， 若直線
分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)
，證明：點(diǎn)
在以
為直徑的圓內(nèi)
分析：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力
解：（Ⅰ）依題意得 a＝
＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝
故橢圓的方程為 
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）
設(shè)M（x0，y0）
∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y0＝
（4－x02）
1
又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－2<x0<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得
P（4，
）
從而
＝（x0－2，y0），
＝（2，）
∴?＝2x0－4＋
＝
（x02－4＋3y02） 2
將1代入2，化簡(jiǎn)得?＝
（2－x0）
∵2－x0>0，∴
?
>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)
解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
則－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（
，
），
依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差
－
＝(－2）2＋（）2－
[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 3
又直線AP的方程為y＝
，直線BP的方程為y＝
，
而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，
∴
，即y2＝
4
又點(diǎn)M在橢圓上，則
，即
5
于是將4、5代入3，化簡(jiǎn)后可得－＝
從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)
點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是聯(lián)系直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力
考點(diǎn)三 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題
5.
已知拋物線C：
上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1。
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；
（3）求出一個(gè)數(shù)學(xué)問題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原來問題的一個(gè)“逆向”問題．
例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積
后，它的一個(gè)“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為，求側(cè)棱長(zhǎng)”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求所有側(cè)面面積之和的最小值”．
現(xiàn)有正確命題：過點(diǎn)
的直線交拋物線C：于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過焦點(diǎn)F。
試給出上述命題的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題。
解析：
答案：解：（1）
（2）設(shè)
（t>0），則
，F(xiàn)(1,0)。
因?yàn)镸、F、N共線，則有
，
所以
，解得
，
所以
，
因而，直線MN的方程是
。
（3）“逆向問題”一：
①已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過定點(diǎn)。
證明：設(shè)過F的直線為y=k(x
)，
，
，則
由
得
，所以
，
，
=
，
所以直線RQ必過焦點(diǎn)A。
②過點(diǎn)
的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)P與拋物線交于另一點(diǎn)R，則RQ垂直于x軸。
③已知拋物線C：，過點(diǎn)B(m,0 )（m>0）的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過定點(diǎn)A(-m,0)。
“逆向問題”二：已知橢圓C：
的焦點(diǎn)為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過F2的直線交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過定點(diǎn)
。
“逆向問題”三：已知雙曲線C：
的焦點(diǎn)為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過F2的直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過定點(diǎn)
。
考點(diǎn)四 圓錐曲線的應(yīng)用
（1）．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。
6.
（2004年全國(guó)高考天津理科22題）橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為
，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（C，0）（C＞0）的準(zhǔn)線L與X軸相交于點(diǎn)A，
，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）
若 OP?O Q = 0，求直線PQ的方程；
（3）設(shè) A P = AQ（＞1），過點(diǎn)P且平行與準(zhǔn)線L的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明 FM = - FQ 。
分析：（1）要求橢圓的方程及離心率，很重要的一點(diǎn)就是要熟悉這種二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的中心、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、焦距等有關(guān)概念及幾何性質(zhì)。解：（1）根據(jù)已知條件“橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（C，0）（C＞0）的準(zhǔn)線L與X軸相交于點(diǎn)A�！� 可設(shè)橢圓的方程為
（a＞
），從而有
；又因
可以有
，聯(lián)系以上這兩個(gè)關(guān)于a、c的方程組并解得a=
，c=2，所以橢圓的方程為
，離心率e=
。
（2）根據(jù)已知條件
“O P?O Q = 
，Q
，把兩個(gè)向量的數(shù)量積的形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示的形式，再根據(jù)直線 PQ 經(jīng)過 A（3，0），只須求出直線PQ的斜率K即可求出直線PQ的方程。而P、Q兩點(diǎn)又在橢圓上，因此，我們?nèi)菀紫氲酵ㄟ^直線y=k（x-3）與橢圓，聯(lián)系方程組消去一個(gè)未知數(shù)y（或x）得
，并利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合
及
不難求出k=
，這里應(yīng)特別注意K的值要保證
＞0成立，否則無法保證直線PQ與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)。
（3）要證F M =- F Q ，我們?nèi)菀紫氲酵ㄟ^式中兩個(gè)向量FM、FQ的坐標(biāo)之間關(guān)系來謀求證題的方法。為此我們可根據(jù)題意“過點(diǎn)P且平行為準(zhǔn)線L的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M”，求得點(diǎn)M坐標(biāo)為
。又因AP=AQ，易知FM、FQ的兩個(gè)縱坐標(biāo)已經(jīng)滿足
，所以現(xiàn)在要考慮的問題是如何證明FM、FQ的兩個(gè)橫坐標(biāo)應(yīng)該滿足
，事實(shí)上，
注意到＞1，解得
⑤
因F（2，0），M，故FM=
=
。
=
=
又FQ=
，因此FM=-FQ。
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及相關(guān)概念，直線方程、平面向量的坐標(biāo)表示和向量的數(shù)量積，多元二次方程組解法、曲線和方程的關(guān)系、直線與橢圓相交等解析幾何的基礎(chǔ)思想方法，以及分析問題和綜合解題能力。
把兩個(gè)向量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，再通過代數(shù)運(yùn)算的方法來解決有關(guān)向量的問題是一種常用的解題手段。
7.
（江蘇卷）已知
，記點(diǎn)P的軌跡為E.
（1）求軌跡E的方程；
（2）若直線l過點(diǎn)F2且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn).
（i）無論直線l繞點(diǎn)F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在x軸上總存在定點(diǎn)
，使
恒成立，求實(shí)數(shù)m的值.
（ii）過P、Q作直線
的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記
，求λ的取值范圍.
解析：
答案：解：（1）由
知，點(diǎn)P的軌跡E是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線右支，由
，故軌跡E的方程為
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為
，與雙曲線方程聯(lián)立消y得
，
解得k2 >3
（i）
，
對(duì)任意的
恒成立，
知結(jié)論也成立，
是雙曲線的右準(zhǔn)線，
，
，
，
，過Q作QC⊥PA，垂足為C，則
上一點(diǎn)，直線L過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q。
，這樣過P
，由于直線L與過點(diǎn)P的切線垂直，因此直線L的斜率為
（
，結(jié)合
。
，因M為PQ的中點(diǎn)，故有
消去
。
。
的特點(diǎn)，我們很自然想到平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間的距離公式。于是可先求S、T兩點(diǎn)的坐標(biāo)，易知：
，從而有
?
≥2
、
可取一切不相等的正數(shù)。
）。