2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測
專題1 函數(shù)
考點一：函數(shù)的性質(zhì)與圖象
1. 已知
，函數(shù)
。設(shè)
，記曲線
在點
處的切線為
。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)設(shè)與
軸交點為
。證明：
① 
；
② 若
，則
(Ⅰ)分析：欲求切線的方程，則須求出它的斜率，根據(jù)切線斜率的幾何意義便不難發(fā)現(xiàn)，問題歸結(jié)為求曲線在點的一階導(dǎo)數(shù)值。
解：求
的導(dǎo)數(shù)：
，由此得切線的方程：
。
(Ⅱ)分析：①要求
的變化范圍，則須找到使產(chǎn)生變化的原因，顯然，變化的根本原因可歸結(jié)為
的變化，因此，找到與的等量關(guān)系式，就成；②
欲比較與的大小關(guān)系，判斷它們的差的符號即可。
證：依題意，切線方程中令y＝0，
.
①
由
.
②
。
點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的方法，考查不等式的基本性質(zhì)，以及分析和解決問題的能力。
考點二：二次函數(shù)
2. 已知二次函數(shù)
，設(shè)方程
的兩個實數(shù)根為
和
.
(1)如果
，設(shè)函數(shù)的對稱軸為
，求證：
；
(2)如果
，
，求
的取值范圍.
分析：條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化.
解：設(shè)
，則
的二根為和.
(1)由及，可得 
，即
，即
兩式相加得
，所以，;
(2)由
，
可得 
.
又
，所以
同號.
∴ ，等價于
或
，
即 
或
解之得 
或
.
點評：在處理一元二次方程根的問題時，考察該方程所對應(yīng)的二次函數(shù)圖像特征的充要條件是解決問題的關(guān)鍵。
考點三：抽象函數(shù)
3. A是由定義在
上且滿足如下條件的函數(shù)
組成的集合：①對任意
，都有
； ②存在常數(shù)
，使得對任意的
，都有
(Ⅰ)設(shè)
，證明：
(Ⅱ)設(shè)，如果存在
，使得
，那么這樣的
是唯一的;
(Ⅲ)設(shè)，任取
，令
證明:給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，成立不等式
解：對任意，
，
，
，所以
對任意的，
，
，
所以0＜
，
令＝
，
，
所以
反證法:設(shè)存在兩個
使得，
則
由
，得
，所以
，矛盾，故結(jié)論成立。
，所以
＋…
點評：本題以高等數(shù)學(xué)知識為背景，與初等數(shù)學(xué)知識巧妙結(jié)合，考查了函數(shù)及其性質(zhì)、不等式性質(zhì)，考查了特殊與一般、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。
考點四：函數(shù)的綜合應(yīng)用
4.
設(shè)函數(shù)
．
(Ⅰ)求的最小值
；
(Ⅱ)若
對
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
解：(Ⅰ)
，
當
時，取最小值
，
即
．
(Ⅱ)令
，
由
得
，
(不合題意，舍去)．
當
變化時
，
的變化情況如下表：
(0，1)
(1，2)
遞增
極大值
遞減
在
內(nèi)有最大值
．
在內(nèi)恒成立等價于
在內(nèi)恒成立，
即等價于
，
所以的取值范圍為
．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力．
5. 乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v(千米／時)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元.
① 把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米／時)的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；
② 為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？
分析：幾個變量(運輸成本、速度、固定部分)有相互的關(guān)聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關(guān)系，并求函數(shù)的最小值.
解：(讀題)由主要關(guān)系：運輸總成本＝每小時運輸成本×時間，
(建模)有y＝(a＋bv
)
(解題)所以全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米／時)的函數(shù)關(guān)系式是：
y＝S(
＋bv)，其中函數(shù)的定義域是v∈(0，c] .
整理函數(shù)有y＝S(＋bv)＝S(v＋
)，
由函數(shù)y＝x＋
(k＞0)的單調(diào)性而得：
當
＜c時，則v＝時，y取最小值；
當≥c時，則v＝c時，y取最小值.
綜上所述，為使全程成本y最小，當＜c時，行駛速度應(yīng)為v＝；當≥c時，行駛速度應(yīng)為v＝c.
點評：1.對于實際應(yīng)用問題，可以通過建立目標函數(shù)，然后運用解(證)不等式的方法求出函數(shù)的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關(guān)系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現(xiàn)解答不完整.此種應(yīng)用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型.
6.
設(shè)函數(shù)
.
(1)在區(qū)間
上畫出函數(shù)
的圖像；
(2)設(shè)集合
. 試判斷集合
和
之間的關(guān)系，并給出證明；
(3)當
時，求證：在區(qū)間
上，
的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
解：(1)
(2)方程
的解分別是
和
，由于在
和
上單調(diào)遞減，在
和
上單調(diào)遞增，因此
.
由于
.
(3)[解法一] 當
時，
.
，
. 又
，
①
當
，即
時，取
，
.
，
則
.
②
當
，即
時，取
， ＝
.
由 ①、②可知，當時，
，.
因此，在區(qū)間上，
的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
[解法二] 當時，.
由
得
，
令 
，解得
或
，
在區(qū)間上，當時，
的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點
；
當時，
的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點.
如圖可知，由于直線過點
，當時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
7.
設(shè)f(x)＝3ax
，f(0)＞0，f(1)＞0，求證：
(Ⅰ)a＞0且－2＜
＜－1；
(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)內(nèi)有兩個實根.
(I)證明：因為
，所以
.
由條件
，消去，得
；
由條件，消去
，得
，
.
故
.
(II)拋物線
的頂點坐標為
，
在的兩邊乘以
，得
.
又因為
而
所以方程
在區(qū)間
與
內(nèi)分別有一實根。
故方程在
內(nèi)有兩個實根.
8.
已知定義域為
的函數(shù)
是奇函數(shù)。
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若對任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范圍；
解：(Ⅰ)因為是奇函數(shù)，所以
＝0，即
又由f(1)＝ －f(－1)知
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知
，易知在
上
為減函數(shù)。又因是奇函數(shù)，從而不等式：
等價于
，因為減函數(shù)，由上式推得：
．即對一切有：
，
從而判別式
解法二：由(Ⅰ)知
．又由題設(shè)條件得： 
，
即 ：
，
整理得 
上式對一切均成立，從而判別式
9.
設(shè)函數(shù)f(x)＝
其中a為實數(shù).
(Ⅰ)若f(x)的定義域為R，求a的取值范圍;
(Ⅱ)當f(x)的定義域為R時，求f(x)的單減區(qū)間.
解：(Ⅰ)的定義域為
，
恒成立，
，
，即當
時的定義域為．
(Ⅱ)
，令
，得
．
由
，得
或
，又
，
時，由
得
；
當
時，
；當
時，由得
，
即當
時，的單調(diào)減區(qū)間為
；
當時，的單調(diào)減區(qū)間為
．
10.
已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)
，
，其中
．設(shè)兩曲線
，
有公共點，且在該點處的切線相同．
(I)用
表示，并求的最大值；
(II)求證：
(
)．
解：(Ⅰ)設(shè)與
在公共點
處的切線相同．
，
，由題意
，
．
即
由
得：
，或
(舍去)．
即有
．
令
，則
．于是
當
，即
時，
；
當
，即
時，
．
故在
為增函數(shù)，在
為減函數(shù)，
于是在
的最大值為
．
(Ⅱ)設(shè)
，
則
．
故
在
為減函數(shù)，在
為增函數(shù)，
于是函數(shù)在上的最小值是
．
故當時，有
，即當時，
．
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