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2009屆高考數學壓軸題預測

專題六  導  數

1.       設函數，（1）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調性；（2）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

解析：（1），依題意有，故．

從而．

的定義域為，當時，；

當時，；當時，．

從而，分別在區間單調增加，在區間單調減少．

（2）的定義域為，．

方程的判別式．

①若，即，在的定義域內，故的極值．

②若，則或．若，，．

當時，，當時，，所以無極值．若，，，也無極值．

③若，即或，則有兩個不同的實根，．

當時，，從而有的定義域內沒有零點，故無極值．

當時，，，在的定義域內有兩個不同的零點，由根值判別方法知在取得極值．

綜上，存在極值時，的取值范圍為．的極值之和為

．

答案： （1）；（2）見詳解。

點評：本題主要考查對極值概念的理解以及對函數導數的綜合運用。

2.       已知函數處取得極值2。

   （Ⅰ）求函數的解析式；

   （Ⅱ）當m滿足什么條件時，在區間為增函數；

   （Ⅲ）若圖象上任意一點，直線的圖象切于P點，求直線L的斜率的取值范圍。

解：（Ⅰ）

由已知

   （Ⅱ）

又在

）

   （Ⅲ）直線I在P點的切線斜率

令

當

）

3.       設是的兩個極值點，的導函數是

（Ⅰ）如果 ，求證：  ；

（Ⅱ）如果 ，求的取值范圍 ；

（Ⅲ）如果 ，且時，函數的最小值為 ，求的最大值。

（I）證明：  是方程的兩個根   1分

由且得         2分

得                                         

                            3分

（Ⅱ）解：由第（1）問知 由 ，兩式相除得

 即        4分

①當時，由  即

 ，                  5分

令函數，則

在上是增函數

當時， ，即  7分

②當時，  即

令函數則同理可證在上是增函數

當時，           

綜①②所述，的取值范圍是           

（Ⅲ）解：的兩個根是 ，可設

          10分

           又

             g(x)

          當且僅當 ，即 時取等號

          當時，

         在上是減函數