平角應用四例
徐金星
1. 延長線段構造平角
例1 如圖1，AB//CD。求證：
證明：延長CE交AB于點F
因為AB//CD 所以
C=CFA
2. 過某點作直線構造平角
例2 如圖2，已知
，求證：
。
證明：過點A作DE//BC，則
3. 過直線上一點作射線構造平角
例3 如圖3，已知，求證：
證明：在BC上取一點D（點D不與B、C重合），過點D分別作DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F
因為DE//AC
所以1=C，2=4
因為DF//AB 所以4=A
所以2=A
4. 反向延長射線構造平角
例4 如圖4，
，OD為BOC的平分線，OE為BO的延長線。
求證：COE=2AOB。
證明：反向延長射線AO得射線OF
因為AOD為直角，AOF為平角
平行線判定和性質結論識辨
任靜芳
學習平行線的判定和性質時，對于如圖1所示的直線a、b被直線c所截的情況，由∠1＝∠2得a∥b或者由a∥b得∠2＝∠3（或∠2＋∠4＝180°）很容易接受，但在較復雜圖形中，則往往弄不清由條件能得出什么結論。
問題1：如圖2，由∠1＝∠2能得AB∥CD還是AD∥BC？
問題2：如圖2，由AB∥CD能得∠1＝∠2還是∠3＝∠4？
解析：問題1：（1）首先找出已知條件的兩個角：∠1、∠2。
（2）其次找出它們的邊，劃掉公共邊（或處在一條直線上的兩邊）：
∠1的邊 DA，DB
∠2的邊 BD，BC
（3）其余兩邊便是由∠1＝∠2推得的兩條平行直線。
即∵∠1＝∠2（已知）
∴AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行）
問題2：由AB∥CD首先找出AB、CD被哪條直線所截能得到∠1、∠2、∠3、∠4，可以看出這條直線是BD；其次由AB與BD得到∠4而不是∠2，由CD與BD得到∠3而不是∠1。即因為AB∥CD，所以∠3＝∠4（而不是∠1＝∠2）。
評注：產生上面兩個問題的原因還是“三線八角”的遺留問題，即找出構成“八角”的“三線”中的截線是哪條直線，就不難找出所需要的角。
平行線分線段成比例定理的應用
黃細把
平行線分線段成比例定理及其有關推論，除了證明線段成比例和等積外，還可以證明其他一些線段問題。請看如下例題：
例1. 如圖1，在△ABC中，D為AC上一點，E為CB延長線上一點，且
。
求證：AD＝EB
證明：過D作DG∥AB交BC于G
∵DG∥AB，FB∥DG
例2. 如圖2，△ABC中，D、F在AB上，且AD＝BF，DE∥BC交AC于E，FG∥BC交AC于G。
求證：DE＋FG＝BC
證明：∵DE∥BC，FG∥BC
例3. 如圖3，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，M為AD的中點，CM的延長線交AB于K。
求證：AB＝3AK
證明：過B作BG∥KM交AD延長線于G
于D
∴BD＝CD，MD＝GD
∵AD＝2AM
例4. 如圖4，△ABC中，D為BC上任一點，BE∥AD交CA延長線于E，CF∥AD交BA延長線于F。
求證：
證明：∵AD∥BE，AD∥CF
巧用方程組的解的意義解題
吳健
已知關于x、y的方程組
和
，有相同的解，求a、b的值。
分析：既然兩個方程組的解相同，那么方程
與
的解也應該相同；由這兩個方程可求得x、y的值，然后再代入
中，解關于a、b的二元一次方程組，便可求得a、b的值。
解：由于
有相同的解，所以該相同的解應是方程組
（1）與
（2）的解，解方程組（1）得
，然后把
代入方程組（2），得
，解得
。故a、b的值分別是2和1。
同學們仿此例可利用方程組的解的意義解以下幾題：
1. 已知關于x、y的方程組
和
的解相同，求a、b的值。
（答案：
）
2. 若方程組
與方程組
的解相同。則
的值是多少？？
（答案：1）
對角線互相垂直的四邊形的面積
張現立
對角線互相垂直的四邊形的面積等于它的兩條對角線長的積的一半。下面我們證明這個結論。
已知：四邊形ABCD中，對角線
于E，如圖1。
求證：
圖1
證明：在四邊形ABCD中，于E
所以
對于對角線互相垂直的四邊形的面積求解問題，這是一個十分方便的公式。
例1. 菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O，
的周長為
，求菱形ABCD的面積。（如圖2）
圖2
解：在菱形ABCD中，
因為
，所以
設
，則
所以
解得
所以
所以
所以
例2. 等腰梯形ABCD的兩條對角線互相垂直，垂足為O，梯形的高為a，求梯形ABCD的面積。
解：設梯形ABCD的腰為AB、CD，則
，
，BC＝CB（如圖3）
圖3
所以
所以
又因為于O，所以在
中，
過點D作
于E，則
為等腰直角三角形，故
所以
例3. 如圖4，已知：在
中，BD和CE分別是兩邊上的中線，并且
，求的面積。
圖4
解：連結DE，則四邊形BCDE的面積為
又因為
所以
例4. 如圖5，已知：在邊長為4cm的正方形ABCD中，取CD的中點E，G在BC上，F在AD上，
，求四邊形AGEF的面積。
圖5
解：在
中，
所以
過G點作
，垂足為H
因為，所以
從而
又因為
所以
所以
故
例5. 已知梯形ABCD中，
，如圖6，求
。
圖6
解：過D作DE//AC交BC的延長線于點E，所以四邊形ADEC是平行四邊形。
所以
因為
所以
所以
又因為DE//AC，所以
所以
定義的應用
楊志彬
數學概念的學習往往容易被忽略，其實數學概念是極其重要的數學內容，有些概念的定義本身就可以解決一些問題，下面舉例說明。
1. 若單項式
與
是同類項，則
=____________。
2. 若b<0，化簡
。
3. 若最簡根式
是同類二次根式，則m，n的值為______。
4. 若
，則關于x的二次方程
，必有一根等于_________；若
，情況又如何？
5. 設反比例函數
的圖象與直線
有兩個交點A、B，求n的值和A、B兩點的坐標。
6. 下列圖象所表示的y與x間的關系中，y不是x的函數的有_________。
提示：
1. 用同類項定義。答案：
。
2. 考察根式的定義。答案：
。
3. 考察最簡二次根式的定義。答案：6，8。
4. 考察方程根的定義。答案：1；。
5. 用反比例函數定義。
答案：
6. 用函數的定義。答案（B）、（C）。
完全平方公式變形的應用
姜峰
完全平方公式是多項式乘法中非常重要的一個公式。掌握其變形特點并靈活運用，可以巧妙地解決很多問題。
一. 完全平方公式常見的變形有
a2+b2=（a+b）2-2ab，
a2+b2=（a-b）2+2ab，
（a+b）2-（a-b）2=4ab，
a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）
二. 乘法公式變形的應用
例1： 已知：x2+y2+4x-6y+13=0，x、y均為有理數，求xy的值。
分析：逆用完全乘方公式，將
x2+y2+4x-6y+13化為兩個完全平方式的和，利用完全平方式的非負性求出x與y的值即可。
解：∵x2+y2+4x-6y+13=0，
（x2+4x+4）+（y2-6y+9）=0，
即（x+2）2+（y-3）2=0。
∴x+2=0，y=3=0。
即x=-2，y=3。
∴xy=（-2）3=-8。
分析：本題巧妙地利用
例3 已知：a+b=8，ab=16+c2，求（a-b+c）2002的值。
分析：由已知條件無法直接求得（a-b+c）2002的值，可利用（a-b）2=（a+b）2-4ab確定a-b與c的關系，再計算（a-b+c）2002的值。
解：（a-b）2=（a+b）2-4ab=82-4（16+c2）=-4c2。
即：（a-b）2+4c2=0。
∴a-b=0，c=0。
∴（a-b+c）2002=0。
例4 已知：a、b、c、d為正有理數，且滿足a4+b4+C4+D4=4abcd。
求證：a=b=c=d。
分析：從a4+b4+C4+D4=4abcd的特點看出可以化成完全平方形式，再尋找證明思路。
證明：∵a4+b4+C4+D4=4abcd，
∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0，
（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0。
a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0
又∵a、b、c、d為正有理數，
∴a=b，c=d。代入ab-cd=0，
得a2=c2，即a=c。
所以有a=b=c=d。
練習：
1. 已知：x2+3x+1=0。
2. 已知x，y，z滿足條件
求：（1）x2+y2+z2
（2）x4+y4+z4的值
3. 已知：x=a2+b2，y=c2+d2。
求證：x，y可表示成平方和的形式。
4. 已知：ad-bc=1
求證：a2+b2+c2+d2+ad+cd≠1。
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com