對角線互相垂直的四邊形的面積
張現立
對角線互相垂直的四邊形的面積等于它的兩條對角線長的積的一半。下面我們證明這個結論。
已知：四邊形ABCD中，對角線
于E，如圖1。
求證：
圖1
證明：在四邊形ABCD中，于E
所以
對于對角線互相垂直的四邊形的面積求解問題，這是一個十分方便的公式。
例1. 菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O，
的周長為
，求菱形ABCD的面積。（如圖2）
圖2
解：在菱形ABCD中，
因為
，所以
設
，則
所以
解得
所以
所以
所以
例2. 等腰梯形ABCD的兩條對角線互相垂直，垂足為O，梯形的高為a，求梯形ABCD的面積。
解：設梯形ABCD的腰為AB、CD，則
，
，BC＝CB（如圖3）
圖3
所以
所以
又因為于O，所以在
中，
過點D作
于E，則
為等腰直角三角形，故
所以
例3. 如圖4，已知：在
中，BD和CE分別是兩邊上的中線，并且
，求的面積。
圖4
解：連結DE，則四邊形BCDE的面積為
又因為
所以
例4. 如圖5，已知：在邊長為4cm的正方形ABCD中，取CD的中點E，G在BC上，F在AD上，
，求四邊形AGEF的面積。
圖5
解：在
中，
所以
過G點作
，垂足為H
因為，所以
從而
又因為
所以
所以
故
例5. 已知梯形ABCD中，
，如圖6，求
。
圖6
解：過D作DE//AC交BC的延長線于點E，所以四邊形ADEC是平行四邊形。
所以
因為
所以
所以
又因為DE//AC，所以
所以
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