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1．不等式的解集是                                                                          （    ）

      A．（0，2）                                             B．（2，+∞）          

      C．（2，4）                                             D．（－∞，0）∪（2，+∞）

2．拋物線y=ax² 的準線方程是y=2，則a的值為                                                    （    ）

      A．                       B．－                 C．8                          D．－8

3．                                                                                                     （    ）

      A．            B．       C．             D．

4． 已知                                                          （    ）

      A．                     B．－               C．                     D．－

5．等差數列                                 （    ）

      A．48                        B．49                     C．50                        D．51

6．雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F₁，F₂，∠F₁MF₂=120°，則雙曲線的離心率為（    ）

      A．                     B．                 C．                    D．

7．設函數若，則x₀的取值范圍是                      （    ）

      A．（－1，1）                                         B．（－1，+∞）

      C．（－∞，－2）∪（0，+∞）               D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

8．O是平面上一 定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

   則P的軌跡一定通過△ABC的           （    ）

      A．外心                    B．內心                 C．重心                    D．垂心

9．函數的反函數為                                                           （    ）

      A．                     B．

      C．                     D．

10．棱長為a的正方體中，連結相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（    ）

      A．                     B．                  C．                     D．

11．已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質點從AB的中點P₀沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的點P₂，P₃和P₄（入射角等于反射角）。若P₄與P₀重合，則tanθ=                           （    ）

      A．                       B．                    C．                       D．1

12．一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為 （    ）

      A．3π                      B．4π                   C．                 D．6π

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

13．展開式中的系數是             .

14．某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗該公司的

產品質量。現用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應抽取   

          ，          ，          輛。

15．在平面幾何里，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB²+AC²=BC².”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的面面積與底面面積間的關系。可以得出的正確結論是：“設三棱錐A―BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則                                              ”。

16．將3種作物種植在如圖5塊試驗田里，每塊種植一種

    作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植

    方法共有                種.（以數字答）

17．（本小題滿分12分）

    已知正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁.AB=1，AA₁=2，點E為CC₁中點，點P為BD₁中點.

   （2）求點D₁到面BDE的距離.

18．（本小題滿分12分）

    已知拋物線C₁：y=x²+2x和C：y=－x²+a，如果直線l同時是C₁和C₂的切線，稱l是C₁和C₂的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.

   （Ⅰ）a取什么值時，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

   （Ⅱ）若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分.

19．（本題滿分12分）

    已知數列

   （Ⅰ）求

   （Ⅱ）證明

20．（本小題滿分12分）

    在三種產品，合格率分別是0.90,0.95和0.95，各抽取一件進行檢驗.

   （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；

   （Ⅱ）求至少有兩件不合格的概率.  （精確到0.001）

21．（本小題滿分12分）

    已知函數是R上的偶函數，其圖象關于點

    對稱，且在區間上是單調函數.求的值.

22．（本小題滿分14分）

    已知常數a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經過原點O以c+λi為方向向量的直線與經過定點A（0，a）以i－2λc為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R.試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.

2003年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）

數學試題（文史類）參考解答

1．C  2．B  3．B  4．D  5．C  6．B  7．D  8．B  9．B  10．C  11．C  12．A

13．    14．6，30，10  15．S²_△ABC+ S²_△ACD + S²_△ADB = S²_△BCD   16．42

（1）證法一：取BD中點M.連結MC，FM .

         ∵F為BD₁中點 ，    ∴FM∥D₁D且FM=D₁D .

         又ECCC₁且EC⊥MC ，∴四邊形EFMC是矩形

         ∴EF⊥CC₁. 又CM⊥面DBD₁ .∴EF⊥面DBD₁ .

         ∵BD₁面DBD₁ . ∴EF⊥BD₁ .  故EF為BD₁ 與CC₁的公垂線.

   證法二：建立如圖的坐標系，得

B（0，1，0），D₁（1，0，2），F（，，1），C₁（0，0，2），E（0，0，1）.

即EF⊥CC₁，EF⊥BD₁ .    故EF是為BD₁ 與CC₁的公垂線.

   （Ⅱ）解：連結ED₁，有V_E－DBD1=V_D1－DBE .

由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁ ，設點D₁到面BDE的距離為d.

故點D₁到平面DBE的距離為.

18．本小題主要考查導數、切線等知識及綜合運用數學知識解決問題的能力，滿分12分。

   （Ⅰ）解：函數y=x²+2x的導數y′=2x+2,曲線C₁在點P（x₁,x+2x₁）的切線方程是：

y－(x+2x₁)=(2x₁+2)(x－x₁),即 y=(2x₁+2)x－x  ①

函數y=－x²+a的導數y′=－2x, 曲線C₂ 在點Q（x₂,－x+a）的切線方程是

即y－(－x+a)=－2x₂(x－x₂).   y=－2x₂x+x+a .     ②

如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程，

=x+a.

消去x₂得方程  2x+2x₂+1+a=0.

若判別式△=4－4×2（1+a）=0時，即a=－時解得x₁=－，此時點P與Q重合.

即當a=－時C₁和C₂有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為  y=x－ .

   （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知.當a<－時C₁和C₂有兩條公切線

設一條公切線上切點為：P（x₁,y₁）,    Q（x₂ , y₂ ）.

其中P在C₁上，Q在C₂上，則有

x₁+x₂=－1,

y₁+y₂=x+2x₁+(－x+a)= x+2x₁－(x₁+1)²+a=－1+a .

線段PQ的中點為

同理，另一條公切線段P′Q′的中點也是

所以公切線段PQ和P′Q′互相平分.

19．本小題考查數列，等比數列，等比數列求和等基礎知識，考查運算能力，滿分12分.

   （Ⅰ）∵a₁=1 . ∴a₂=3+1=4, a₃=3²+4=13 .

   （Ⅱ）證明：由已知a_n－a_n－1=3^n－1,故

所以證得.

20．本小題主要考查相互獨立事件概率的計算，運用數學知識解決問題的能力，滿分12分.

解：設三種產品各抽取一件，抽到合格產品的事件分別為A、B和C.

   （Ⅰ）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95.

         P=0.10 ,  P=P=0.05.

因為事件A，B，C相互獨立，恰有一件不合格的概率為

     P（A?B?）+P（A??C）+P（?B?C）

      =P（A）?P（B）?P（）+P（A）?P（）?P（C）+P（）?P（B）?P（C）

      =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95

      =0.176

答：恰有一件不合格的概率為0.176.

   （Ⅱ）解法一：至少有兩件不合格的概率為

         P（A??）+P（?B?）+P（??C）+ P（??）

         =0.90×0.05²+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05²

         =0.012.

   答：至少有兩件不合格的概率為0.012.

解法二：三件產品都合格的概率為

P（A?B?C）=P（A）?P（B）?P（C）

=0.90×0.95²

=0.812.

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率為0.176，所以至少有兩件不合格的概率為

1－P（A?B?C）+0.176

=1－（0.812+0.176）

=0.012

答：至少有兩件不合格的概率為0.012.

21．本小題主要考查三角函數的圖象和單調性，奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計算能力，滿分12分.

    解：由f(x)是偶函數，得f(－x)= f(－x).

    即：   所以－

對任意x都成立，且所以得=0.

依題設0，所以解得，

由f(x)的圖象關于點M對稱，得.

取x=0,得=－，所以=0.

22．本小題主要考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分14分。

    解：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.

    ∵i=(1,0),c=(0,a),  ∴

    因此，直線OP和AP的方程分別為  y=ax和y－a=－2ax .

    消去參數，得點P（x,y）的坐標滿足方程y (y－a)=－2a²x² ,

    整理得                  ①

    因為a>0，所以得：

   （i）當a=時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；

   （ii）當0<a<時，方程①表示橢圓，焦點E和

        為合乎題意的兩個定點；

  （iii）當a>時，方程①表示橢圓，焦點E和F））為合乎題意的兩個定點.