2009年福建省普通高中畢業班質量檢查
文科數學
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）， 本試卷共5頁，滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．考生作答時，將答案答在答題卡上，請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效。
3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆記清楚。
4．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。
5．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
參考公式：
樣本數據
，…，
的標準差
錐體體積公式
其中
為樣本平均數
其中
為底面面積，
為高
柱體體積公式 球的表面積、體積公式
其中為底面面積，為高
其中
為球的半徑
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.復數
等于
A 
B
C
D
2.已知全集
，集合
，則
A 
B
C 
D
3．為了測算如圖陰影部分的面積，作一個變長為6的正方形將其包含在內，并向正方形內隨機投擲800個點，已知恰有200個點落在陰影部分內，據此，可估計陰影部分的面積是
A 12
B
4.函數
的零點所在的區間是
A 
B 
C 
D 
5.如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是變長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的側面積為
A 
B 
C 
D 
6 “
”是“直線
與圓
相交”的
A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件
C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
7.設向量
與
的夾角為
，
則
等于
A 
B
C
D
8.設
為不重合的平面，
為不重合的直線，則下列命題正確的是
A 若
B若
C若
D若
9.雙曲線
過點
，則雙曲線的焦點坐標是
A 
B
C 
D
10已知
，直線
與直線
互相垂直，則
的最小值
A 4
B
11.已知
是函數
的導函數，且
的圖像如圖所示，則函數的圖像可能是
12.設M是由平面內一些向量組成的集合，若對任意正實數和向量，都有，則稱M為錐，現有下列平面向量的集合：
①
②
③
④
上述為錐的集合的個數是
A
1
B
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡相應位置。
13.在
中，角A,B ,C 的對邊分別為
，已知
，
則
14.如圖所示的程序框圖，運行該程序，輸出的第3個數是
15.已知
滿足約束條件
，則
的最大值
是
16.對于實數，若在①
；②
；③
；④
；⑤
中，有且只有兩個式子是不成立的，則不成立的式子的序號是
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
已知
（I）
求
的只
（II）
求函數
的單調遞增區間。
18. ．（本小題滿分12分）
甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓，在培訓期間，他們參加的5次預賽成績記錄如下：
甲 82 82 79 95 87
乙 95 75 80 90 85
（I） 用莖葉圖表示這兩組數據；
（II） 從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個，求甲的成績比乙高的概率；
（III） 現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？說明理由。
19．（本小題滿分12分）
下面一組圖形為三棱錐P-ABC的底面與三個側面，已知
（I） 寫出三棱錐P-ABC 中所有的線面垂直關系（不要求證明）；
（II）
在三棱錐P-ABC中，M是PA上的一點，求證:平面
平面
（III） 在三棱錐P-ABC中，M是PA的中點，且，求三棱錐P-MBC的體積
20. （本小題滿分12分）
國家汽車產業振興規劃的政策極大地刺激了小排量汽車的銷售，據分析預測， 某地今年小排量Q型車每月的銷量將以10%的增長率增長，小排量R型車的銷量每月遞增20輛，已知該地今年1月份銷售Q型車和R型車均為60輛，據此推測，該地今年這兩款車的銷售總量能否超過3000輛？
（參考數據：1.111
2.9 。1.1123.1.，1.1133.5）
21. （本小題滿分12分）
已知橢圓C的中心在原點，離心率
，一個焦點的坐標為
（I） 求橢圓C 的方程；
（II）
設直線
與橢圓C交于A,B 兩點，線段AB的垂直平分線交
軸于點T。當
變化時，求
面積的最大值。
22. （本小題滿分12分）
已知函數
在
處取得極值2 ，
（I）
求
的解析式；
（II）
設A是曲線上除原點O外的任意一點，過OA的中點且垂直于軸的直線交曲線于點B，試問：是否存在這樣的點A,使得曲線在點B處的切線與OA平行？若存在，求出點A的坐標；若不存在，說明理由；
（III）
設函數
，若對于任意
的，總存在
，使得
，求實數的取值范圍。
2009年福建省普通高中畢業班質量檢查
文科數學試題參考解答及評分標準
說明：
一、選擇題：本大題考查基礎知識和基本運算．每小題5分，共60分
1.A 2.C 3. B 4.B 5.C 6. A 7. D 8.B 9. B 10. C 11. D 12. B
二、填空題：本大題考查基礎知識和基本運算，每小題4分，共16分。
13.
14.-1 15. 5 16. ②⑤
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題主要考查誘導公式、同角三角函數的基本關系、兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式、三角函數的圖像與性質等基礎知識，考查運算求解能力。滿分12分。
解：
（I）
（II）
函數的單調遞增區間為
18.本小題主要考查概率、統計等基礎知識，考查數據處理能力、推理論證能力、運算求解能力，以及運用數學知識分析和解決實際問題的能力，滿分12分
解：（I）作出莖葉圖如下；
（II）記甲被抽到的成績為，乙被抽到成績為
，用數對
表示基本事件：
基本事件總數
記“甲的成績比乙高”為事件A,事件A包含的基本事件：
事件A包含的基本事件數
所以
（III）派甲參賽比較合適，理由如下：
，
，
甲的成績較穩定，派甲參賽比較合適。
注：本小題的結論及理由均不唯一，如果考生能從統計學的角度分析，給出其他合理回答，同樣給分，如
派乙參賽比較合適，理由如下：
從統計的角度看，甲獲得85以上（含85分）的概率
，
乙獲得85分以上（含85分）的概率
，派乙參賽比較合適。
19.本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、三棱錐體積的呢個基礎知識，考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力，滿分12分。
解法一：（I）如圖，在四棱錐
中，
平面
，
（II）
（III）
M是PA 的中點，
解法二：（I）同解法一
（II）同解法一
（III）
M是PA 的中點
又
且BC=3
20 本小題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力，滿分12分
解：設該地今年第
月Q型車和R型車的銷量分別為
輛和
輛
依題意，得
是首項
，公比
的等比數列
是首項
，公差
的等差數列
設的前項和為
，則
設的前項和為
，則
可推測該地區今年這兩款車的總銷量能超過3000輛
21.本小題主要考查直線、橢圓等基礎知識，考查推理論證能力、運算 求解能力，考查數形結合思想和化歸與轉化思想等，滿分12分。
解法一：（I）依題意，設橢圓C的方程為
橢圓C的方程是
（II）
設
，AB中點為
、
當
，即
時，
取得最大值為
解法二：（I）通解法一
（II）
設，AB中點為
的方程為
令
，得
，
設AB交軸與點R,則
當，即時，取得最大值為
22.本小題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查shuxing 結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想，滿分14分。
（I）
又
在處取得極值2
（II）由（I）得
假設存在滿足條件的點A,且
，則
所以存在滿足條件的點A，此時點A是坐標為
或
（III）
令
當變化時，，的變化情況如下表：
1
-
0
+
0
-
單調遞減
極小值
單調遞增
極大值
單調遞減
在
處取得極小值
在處取得極大值
又
時，
，的最小值為-2
對于任意的，總存在，使得
當
時，
最小值不大于-2
又
當 
時，的最小值為
，由
得
當
時，最小值為
，由
，得
當
時，的最小值為
由
，得或
，又
，所以此時不存在。
綜上，的取值范圍是
解法二：（I）同解法一
（II）同解法一
（III）
，令
得
當變化時，，的變化情況如下表：
1
-
0
+
0
-
單調遞減
極小值
單調遞增
極大值
單調遞減
在處取得極小值
在處取得極大值
又時，，的最小值為-2
對于任意的，總存在，使得
當時，
有解
即
在
有解
設
所以當或時，
解法三：（I）同解法一
（II）同解法一
（III），令得
當變化時，，的變化情況如下表：
1
-
0
+
0
-
單調遞減
極小值
單調遞增
極大值
單調遞減
在處取得極小值
在處取得極大值
又時，，的最小值為-2
對于任意的，總存在，使得
當時，有解
綜上，的取值范圍是
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