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1（漢沽一中2008~2009屆月考理 3）．如右圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為的正方形，俯視圖是一個直徑為的圓，那么這個幾何體的全面積為（A）

A．             B．

C．                        D．

2（漢沽一中2008~2009屆月考文5）. 一條直線若同時平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面交線的位置關系是(  C  ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A．異面           B. 相交             C. 平行             D. 不確定

3（和平區2008年高考數學(理)三模6）. 如果直線與平面，滿足：和，那么必有（B   ）

A. 且       B. 且

C. 且       D. 且

4（漢沽一中2008~2008學年月考理6）．三棱錐D―ABC的三個側面分別與底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，則二面角A―BC―D的大小為D

   A．  30⁰        B． 45⁰         C．60⁰             D．90⁰

1（漢沽一中2008~2009屆月考理11）．在直角三角形中，兩直角邊分別為，設為斜邊上的高，則，由此類比：三棱錐的三個側棱兩兩垂直，且長分別為，設棱錐底面上的高為，則                  .     

2（漢沽一中2008~2008學年月考理11）．一個正四棱錐的底面邊長為2，側棱長為，五個頂點都在同一個球面上，則此球的表面積為          .    9π  

3（和平區2008年高考數學(理)三模12）. 在120°的二面角內放一個半徑為6的球，與兩個半平面各有且僅有一個公共點，則這兩點間的球面距離是        。2

1（2009年濱海新區五所重點學校聯考文19）.( 本小題滿分12分) 如圖，在棱長為的正方體中，

、分別為、的中點。

（Ⅰ）求證：//平面

（Ⅱ）求證：⊥

(Ⅲ)求三棱錐的體積

19．（本小題滿分12分）

解：

（Ⅰ）連結BD₁，在△DD₁B中，E、F分別為D₁D，

DB的中點，則EF//D₁B。    ………………2分                                         

………………4分

    （Ⅱ）∵B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，………………5分

AB平面ABC₁D₁，BC₁平面ABC₁D₁，

AB∩BC₁=B，

∴B₁C⊥平面ABC₁D₁。 ………………7分

又∵BD₁平面ABC₁D₁，

∴B₁C⊥BD₁，         ………………8分

而EF//BD₁，∴EF⊥B₁C。………………9分

(Ⅲ)三棱錐的體積………………12分

2（漢沽一中2008~2009屆月考文18）．（本小題滿分14分）如圖，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，為棱的中點，為線段的中點，

（1）求證：面；

（2）求證：面；

（3）求面與面所成二面角的大小．

（1）證明：連結、交于點，再連結………………………………………………1分

且， 又，

且

四邊形是平行四邊形，…………… 3分

又面

面   ……………………………… 4分

（2）證明：底面是菱形，   ………… 5分

   又面，面

 ，面      ………………………………………………6分

又面           ………………………………8分

（3）延長、交于點                ………………………………9分

是的中點且是菱形

又      ………………………………10分

由三垂線定理可知    

為所求角        ……………………………………………12分

在菱形中，       

           …………………………………………………14分

3（漢沽一中2008~2009屆月考理17）．（本小題滿分14分）

如圖所示的幾何體中,平面，,，

，是的中點.

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

解法一: 分別以直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則

，

所以.        ………………………… 4分

(Ⅰ)證: …… 5分

     …… 6分

,即.……………………… 7分

(Ⅱ)解:設平面的法向量為,

由,得

取得平面的一非零法向量為  ………………………… 10分

又平面BDA的法向量為      …………………………………… 11分

，

∴二面角的余弦值為.         …………………………… 14分

解法二:

(Ⅰ)證明:取的中點,連接,則,

故四點共面， ………………………… 2分

∵平面，  

.            ………………………… 3分

又           

             ………………………… 4分

由，

平面     ………………………… 6分

;             ……………………… 7分

(Ⅱ)取的中點,連,則

平面

過作,連,則

是二面角的平面角.          ……………………… 9分

設, 與的交點為,記,,則有

.

.

,                            …………………… 12分

又

在中,

即二面角的余弦值為.                  …………………… 14分

4（漢沽一中2008~2008學年月考理17）．（本小題滿分14分）

如圖，三棱錐P―ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB．

   (I) 求證：AB平面PCB；

   (II) 求異面直線AP與BC所成角的大小；

（III）求二面角C-PA-B的大小．

解法一：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，

∴PCAB．…………………………2分

∵CD平面PAB，平面PAB，

∴CDAB．…………………………4分

又，

∴AB平面PCB．  …………………………5分

(II) 過點A作AF//BC，且AF=BC，連結PF，CF．

則為異面直線PA與BC所成的角．………6分

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，

∴CFAF．

由三垂線定理，得PFAF．

則AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴異面直線PA與BC所成的角為．…………………………………9分

（III）取AP的中點E，連結CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂線定理的逆定理，得  DE PA．

∴為二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分

由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

　　在中，PB=，

 ．

    在中， sin∠CED=．

∴二面角C-PA-B的大小為arcsin．……14分

解法二：（I）同解法一．

(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B為原點，如圖建立坐標系．

則Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），

C（，０，0），P（，０，2）．

，．

…………………7分

    則+0+0=2．

    == ．

   ∴異面直線AP與BC所成的角為．………………………10分

（III）設平面PAB的法向量為m= (x，y，z)．

，，

則   即

解得   令= -1,  得 m= (，0，-1)．

 設平面PAC的法向量為n=()．

，，

 則   即

解得   令=1,  得 n= (1，1，0)．……………………………12分

    =．

    ∴二面角C-PA-B的大小為arccos．………………………………14分

5（和平區2008年高考數學(理)三模19）. （本小題滿分12分）

如圖，直二面角D―AB―E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE。

（1）求證：AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B―AC―E的大小；

（3）求點D到平面ACE的距離。

解：（1）如圖，∵ BF⊥平面ACE   ∴ BF⊥AE（1分）

又∵ 二面角D―AB―E為直二面角，且CB⊥AB

∴ CB⊥平面ABE   ∴ CB⊥AE  

∵     ∴ AE⊥平面BCE（3分）

（2）連BD交AC于G，連FG

∵ 正方形ABCD邊長為2    ∴ BG⊥AC，

∵ BF⊥平面ACE    由三垂線定理逆定理得FG⊥AC

∴ ∠BGF是二面角B―AC―E的平面角（5分）

由（1）AE⊥平面BCE   ∴ AE⊥EB

又∵ AE=EB    ∴ 在等腰直角三角形AEB中，

又∵ Rt△BCE中，

∴ （7分）

∴ 在Rt△BFG中，

∴ 二面角B―AC―E等于（8分）

（3）過E作EO⊥AB于O，OE=1

∵ 二面角D―AB―E為直二面角

∴ EO⊥平面ABCD（9分）

設D到平面ACE的距離為h

∵      ∴

∵ AE⊥平面BCE    ∴ AE⊥EC

∴

∴ 點D到平面ACE的距離為（12分）

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

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