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19. 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，

       （I）求證：平面BCD；

       （II）求異面直線AB與CD所成角的大小；

       （III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。

（十三）

17.已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．

18.從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率．

（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率；

（2）若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，求事件：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率．

19. 如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC，D、E分別為BB₁、AC₁的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：ED為異面直線BB₁與AC₁的公垂線；

（Ⅱ）設(shè)AA₁＝AC＝AB，求二面角A₁－AD－C₁的大小

（十四）

17.在中，已知，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

18. 某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．

（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；

（II）任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過培養(yǎng)的概率

19. 在長方體中，已知，

求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

（十五）

17.已知的周長為，且．

（I）求邊的長；（II）若的面積為，求角的度數(shù)．

18. 甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員一次試跳米高度成功的概率分別是，，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：

（Ⅰ）甲試跳三次，第三次才成功的概率；

（Ⅱ）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；

（Ⅲ）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率

19. 如圖，在長方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。    （Ⅲ）求三棱錐的體積。

答案

_（十一）

17.解： 由題意，得為銳角，，

    ，

    由正弦定理得 ，   ．

18. （Ⅰ）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為紅球”為事件，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為紅球”為事件．由于事件相互獨(dú)立，且

，，

故取出的4個(gè)球均為紅球的概率是

．

（Ⅱ）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)紅球?yàn)楹谇颉睘槭录?sub>，“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件．由于事件互斥，且

，．

故取出的4個(gè)紅球中恰有4個(gè)紅球的概率為

．

19. 由平面平面，，得平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系

（Ⅰ）設(shè)，則由題設(shè)得

所以

于是

又點(diǎn)不在直線上

所以四邊形是平行四邊形。

（Ⅱ）四點(diǎn)共面。理由如下：

由題設(shè)知，所以

又，故四點(diǎn)共面。

（Ⅲ）由得，所以

又，因此

即

又，所以平面

故由平面，得平面平面

（十二）

17.解：（Ⅰ）由，得

∴，于是

（Ⅱ）由，得

又∵，∴

由得：

所以

解：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，，，，該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率．

（Ⅱ）該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率

．

19. （I）證明：連結(jié)OC

       在中，由已知可得

       而

       即

       平面

（II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

       異面直線AB與CD所成角

       的大小為

       （III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則

       令得是平面ACD的一個(gè)法向量。

       又

       點(diǎn)E到平面ACD的距離

（十三）

17（Ⅰ）解：．

因此，函數(shù)的最小正周期為．

（Ⅱ）解法一：因?yàn)?sub>在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，，，

故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．

解法二：作函數(shù)在長度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下：

由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為

18. （1）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，

       表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”．

       則互斥，且，故

       于是．

       解得（舍去）．

       （2）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，

       則．

       若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其中二等品有件，故．

19. （Ⅰ）如圖，建立直角坐標(biāo)系O－xyz，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．

設(shè)A(a，0，0)，B(0，b，0)，B₁(0，b，2c)．

則C(－a，0，0)，C₁(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．   ……3分

＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．

?＝0，∴ED⊥BB₁．

又＝(－2a，0，2c)，

?＝0，∴ED⊥AC₁，    ……6分

所以ED是異面直線BB₁與AC₁的公垂線．

（Ⅱ）不妨設(shè)A(1，0，0)，則B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A₁(1，0，2)，

＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，

?＝0，?＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA₁，又AB∩AA₁＝A，

∴BC⊥平面A₁AD．

又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，

＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，

?＝0，?＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，

∴　　EC⊥面C₁AD．　　……10分

cos＜，＞＝＝，即得和的夾角為60°．

所以二面角A₁－AD－C₁為60°．          ………12分

（十四）

17.（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，

．

所以．

（Ⅱ）解：因?yàn)?sub>，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是

，

，

．

．

18. 解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，．

（I）解法一：任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是

所以該人參加過培訓(xùn)的概率是．

解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是

該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是．

所以該人參加過培訓(xùn)的概率是．

（II）解法一：任選3名下崗人員，3人中只有2人參加過培訓(xùn)的概率是

．

3人都參加過培訓(xùn)的概率是．

所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是．

解法二：任選3名下崗人員，3人中只有1人參加過培訓(xùn)的概率是

．

3人都沒有參加過培訓(xùn)的概率是．

所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是

19. 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.                        ……2分

       則 ，

       得 .                             ……6分

       設(shè)與的夾角為，

       則，    ……10分

        與的夾角大小為， 

       即異面直線與所成角的大小為.                   ……12分

（十五）

17.解：（I）由題意及正弦定理，得，

，

兩式相減，得．

（II）由的面積，得，

由余弦定理，得

                            　　，

所以．

18. 解：記“甲第次試跳成功”為事件，“乙第次試跳成功”為事件，依題意得，，且，（）相互獨(dú)立．

（Ⅰ）“甲第三次試跳才成功”為事件，且三次試跳相互獨(dú)立，

．

答：甲第三次試跳才成功的概率為．

（Ⅱ）“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件．

解法一：，且，，彼此互斥，

．

解法二：．

答：甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為．

（Ⅲ）設(shè)“甲在兩次試跳中成功次”為事件，

“乙在兩次試跳中成功次”為事件，

事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為，且，為互斥事件，

所求的概率為

答：甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為

19. 以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則

∵分別是的中點(diǎn)

∴

（Ⅰ）

       取，顯然面

        ，∴

又面  ∴面

（Ⅱ）過作，交于，取的中點(diǎn)，則∵

設(shè)，則

又

由，及在直線上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的大小為

（Ⅲ）設(shè)為平面的法向量，則

     又

    ∴    即   ∴可取

     ∴點(diǎn)到平面的距離為

    ∵， 

     ∴

     ∴

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