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（2013•鎮江一模）一位幼兒園老師給班上k（k≥3）個小朋友分糖果．她發現糖果盒中原有糖果數為a₀，就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的

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分給第一個小朋友；再從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的

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分給第二個小朋友；…，以后她總是在分給一個小朋友后，就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內糖果的

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n+1

分給第n（n=1，2，3，…k）個小朋友．如果設分給第n個小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內剩下的糖果數為a_n．
（1）當k=3，a₀=12時，分別求a₁，a₂，a₃；
（2）請用a_n-1表示a_n；令b_n=（n+1）a_n，求數列{b_n}的通項公式；
（3）是否存在正整數k（k≥3）和非負整數a₀，使得數列{a_n}（n≤k）成等差數列，如果存在，請求出所有的k和a₀，如果不存在，請說明理由．

（2013•南開區二模）在某校組織的一次籃球定點投籃測試中，規定每人最多投3次．每次投籃的結果相互獨立．在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分，否則得0分．將學生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就認為通過測試，立即停止投籃，否則繼續投籃，直到投完三次為止．投籃的方案有以下兩種：方案1：先在A處投一球，以后都在B處投：方案2：都在B處投籃．甲同學在A處投籃的命中率為0.5，在B處投籃的命中率為0.8．
（1）當甲同學選擇方案1時．
①求甲同學測試結束后所得總分等于4的概率：
②求甲同學測試結束后所得總分ξ的分布列和數學期望Eξ；
（2）你認為甲同學選擇哪種方案通過測試的可能性更大？說明理由．

（2012•鹽城一模）在綜合實踐活動中，因制作一個工藝品的需要，某小組設計了如圖所示的一個門（該圖為軸對稱圖形），其中矩形ABCD的三邊AB、BC、CD由長6分米的材料彎折而成，BC邊的長為2t分米（1≤t≤

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）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線C₁是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標系中，其解析式為y=cosx-1），此時記門的最高點O到BC邊的距離為h₁（t）；曲線C₂是一段拋物線，其焦點到準線的距離為

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，此時記門的最高點O到BC邊的距離為h₂（t）．
（1）試分別求出函數h₁（t）、h₂（t）的表達式；
（2）要使得點O到BC邊的距離最大，應選用哪一種曲線？此時，最大值是多少？

（2012•姜堰市模擬）可以證明，對任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設由三項組成的數列a₁，a₂，a₃每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有滿足條件的數列；
（2）設數列{a_n}每項均非零，且對任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，數列{a_n}的前n項和為S_n．求證：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數列{a_n}，使得a₂₀₁₂=-2011？若存在，寫出一個這樣的無窮數列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．