絕密★啟用前（命題人：榮培元 審題人：楊少平）
湖北省荊州中學2009屆高三5月模擬考試
數 學（文史類）
說明：本試卷共4面，滿分150分，考試時間120分鐘
第 Ⅰ 卷（共50分）
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．
1．設集合
則
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
都是非零向量，命題
，命題
與
夾角為鈍角.則
是
成立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．前段時間，三鹿奶粉添加三聚氰胺的問題引起全社會的關注.某市質量監督局為了保證人民的飲食安全，要對超市中奶粉的質量進行專項抽查.已知該地區超市中賣的各種類型的奶粉的分布情況如下：老年人專用奶粉300種，普通奶粉240種，嬰幼兒奶粉360種，現采用分層抽樣的方法抽取150種進行檢驗，則這三種型號的奶粉依次應抽取（ ）
A．
種，
種，
種 B．種，
種，
種
C．
種，
種，
種
D．
種，
種，
種
4．有下列命題：①已知
，若
∥平面
，
∥平面，則
∥平面.
②已知和直線
，若
則
.③已知直線
和平面，
是平面內任意一條直線，若∥，則∥.④已知直線
和平面
，若
，則
. 其中真命題的個數為（ ）
A．1
B．
5．用與球心距離為
的平面去截球，所得截面面積為
，則截面直徑的兩個端點的球面距離為（ ）
A．
B．
C．
D． 
6．過拋物線
的焦點作一條直線與拋物線相交于
兩點，它們的橫坐標之和為
，則這樣的直線（ ）
A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在
7．函數
的定義域為（
）
A．
B．
C．
D．
8．一次演講比賽中，需要安排
名選手的出場順序，方法是按照姓氏筆畫的多少（由少到多）安排，如姓氏筆畫數相同，則順序任意.統計發現，10名選手中姓氏筆畫為4畫的有2人，5畫的有3人，6畫的有4人，7畫的有1人，則不同的出場順序共有（ ）
A．24種 B．48種 C．144種 D．288種
9．定義在R上的函數
為奇函數，且
為偶函數.記
，若
，則一定有（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
10．函數
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D． 
第 Ⅱ 卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11．設
，若
，且
，則在
的展開式的各項系數中，最大系數的值是_______________．
12．設雙曲線
的兩條漸近線與左準線圍成的三角形區域（包含邊界）為
為
內的一個動點，則目標函數
的最大值為______．
13．用
表示等差數列
的前
項和.若
，
則此等差數列的項數＝_____．
14．在中，
，其所在平面外一點
到
三個頂點的距離都是25，則點到平面
的距離為__________．
15．已知
，則
的值為 ，
的值為
．
三、解答題：（本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
16．（本題12分）已知
.其中
．
（1）若
，求
的值；
（2）設
，求
的最大值．
17．（本題12分）如圖，在四棱錐
中，
底面
，
，
與平面所成的角為
，
為
的中點.
（1）若
為線段上的一點且
,
求證：
；
（2）求點
到平面
的距離；
（3）在線段上是否存在一點
，使二面角
的大小為
？若存在，求出
的長；若不存在，說明理由．
18．（本題12分）已知函數
在點
處的切線方程為
．
（1）求的單調區間；
（2）若不等式
（O為原點）在
上恒成立，求實數的
的取值范圍．
19．（本題12分）有一種游戲，要求游戲者從一個不透明的箱子中摸球，箱子中裝有6個不同編號的白球和個
不同編號的黃球（這些球外形相同），操作一次就是從中摸出兩球，若摸出的兩球顏色不同，該次操作得
分；若摸出的兩球顏色相同，該次操作得
分.一個人操作若干次，如果總得分恰為分，就稱游戲“獲勝”．
（1）若游戲參與者只有一次操作的機會，他“獲勝”的概率為.試用表示，并求為何值時，最大？
（2）若某個人連續操作四次（每次操作后把球放回），問為何值時，他“獲勝”的概率最大？
20．（本題13分）已知橢圓
，過點
的直線與橢圓
相交于不同的兩點．
（1）若與
軸交于點
，且
，求直線的方程；
（2）設為橢圓上一點，且
（O為原點），
，求實數的值.
21．（本題14分）已知數列
對任意正整數，都有
，
，且
,
.
（1）求證：存在實數
，使數列
是等差數列；
（2）求
的通項公式；
（3）求證：當
時，
．
絕密★啟用前（命題人：榮培元 審題人：楊少平）
2009年普通高等學校招生全國統一考試（荊中模擬卷）
第 Ⅰ 卷（共50分）
一、選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
C
A
B
D
D
C
A
二、填空題：
11. 20 12. 4 13. 22 14. 24 15. 
三、解答題：
16.解：（1）由
得
………………………………………2分
…………………………6分
（2）
…………………………10分
……………12分
17.解：（1）取SA的中點H，連結EH,BH
E是SD的中點
四邊形EFBH為平行四邊形
又
………………………4分
（2）
以
為原點，
為
軸，
為
軸，
為
軸，如圖所示建立直角坐標系，
則
設
是平面
的法向量，則
取
則
到平面的距離為
…………………………8分
（3）設
，則
設
是平面
的法向量，則
取
由
得
， 故存在G點滿足要求，
.
…………………………12分
18.解：
由已知，得
…………………………3分
（1）
由
，得
或
由
，得
的遞增區間是
，遞減區間是
……………………6分
（2）不等式即 
由
，得
又
在
內最大值為6，最小值為－14
的取值范圍為
…………………………12分
19.解：（1）
…………………………2分
隨
的增大而增大
當
時，
…………………………6分
（2）連續操作四次“獲勝”的概率記作
，則
當且僅當 
即
時取“＝”
由
，得
當
時，“獲勝”的概率最大.
…………………………12分
20.解：設A、B的坐標分別為
的方程為：
（1）N點坐標
所求的方程為：
…………………………6分
（2）由
得 
，
， 
設
點坐標為
， 顯然 
…………………………13分
21.解：（1）欲使
為等差數列，只需
即 
令
得 
存在實數，使是等差數列.
…………………………3分
（2）
是等差數列，
…………………………5分
故
…………………………8分
（3）當
時，
又
，
左式
.
…………………………14分
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