§14．3 等腰三角形
1.等腰三角形
知識要點
1．有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊．兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角．
2．三角形按邊分類：三角形
3．等腰三角形是軸對稱圖形，其性質是：
性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．
4．等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．
例：如圖，五邊形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，點F是CD的中點．求證：AF⊥CD.
分析：要證明AF⊥CD，而點F是CD的中點，聯想到這是等腰三角形特有的性質，于是連接AC、AD，證明AC=AD，利用等腰三角形“三線合一”的性質得到結論．
證明：連接AC、AD 在△ABC和△AED中
∴△ABC≌△AED（SAD） ∴AC=AD（全等三角形的對應邊相等）
又∵△ACD中AF是CD邊的中線（已知）
∴AF⊥CD（等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合）
練習題
(第一課時)
一、選擇題
1．等腰三角形的對稱軸是（ ）
A．頂角的平分線 B．底邊上的高
C．底邊上的中線 D．底邊上的高所在的直線
2．等腰三角形有兩條邊長為4cm和9cm，則該三角形的周長是（ ）
A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm
3．等腰三角形的頂角是80°，則一腰上的高與底邊的夾角是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．30°
4．等腰三角形的一個外角是80°，則其底角是（ ）
A．100° B．100°或40° C．40° D．80°
5．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．108°
二、填空題
6．等腰△ABC的底角是60°，則頂角是________度．
7．等腰三角形“三線合一”是指___________．
8．等腰三角形的頂角是n°，則兩個底角的角平分線所夾的鈍角是_________．
9．如圖，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，則∠EDF的度數是_____．
10．△ABC中，AB=AC．點D在BC邊上
（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；
（2）∵AD是中線，∴∠________=∠________；________⊥________；
（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．
三、解答題
11．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周長分別是20cm和16cm，求AD的長．
12．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：∠ABC=∠ADC.
13．已知△ABC中AB=AC，點P是底邊的中點，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，
求證：PD=PE.
四、探究題
14．如圖，CD是△ABC的中線，且CD= AB，你知道∠ACB的度數是多少嗎？由此你能得到一個什么結論？請敘述出來與你的同伴交流．
答案:
1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．60
7．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合
8．（90+ n）° 9．70° 10．略 11．6cm
12．連接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．∴∠ABC=∠ADC
13．連接AP，證明AP平分∠BAC．
14．∠ACB=90°．結論：若一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形
練習題
(第二課時)
一、選擇題
1．如圖1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，則CD等于（ ）
A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm
（1） (2) (3)
2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，則圖中的等腰三角形有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．如圖2，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF=CF．其中正確的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
4．如圖3，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結論中不正確的是（ ）
A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．CH=HD D．AC=AF
二、填空題
5．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，則AB：BC=_________．
6．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，要使AD∥BC，則△ABC的邊一定滿足________．
7．△ABC中，∠C=∠B，D、E分別是AB、AC上的點，AE=2cm，且DE∥BC，則AD=________．
8．一燈塔P在小島A的北偏西25°，從小島A沿正北方向前進30海里后到達小島，此時測得燈塔P在北偏西50°方向，則P與小島B相距________．
三、解答題
9．如圖，已知AB=AC，E、D分別在AB、AC上，BD與CE交于點F，且∠ABD=∠ACE，
求證：BF=CF．
10．如圖，△ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于F交BC于E，
求證：△DBE是等腰三角形．
四、探究題
11．如圖，AF是△ABC的角平分線，BD⊥AF交AF的延長線于D，DE∥AC交AB于E，
求證：AE=BE．
答案:
1．A 2．C 3．A 4．C 5．1 6．AB=AC 7．2cm 8．30海里
9．連接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABD=∠ACE，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC
10．證明∠D=∠BED
11．證明∠EAD=∠EDA，∠EBD=∠EDB分別得到AE=DE，BE=DE
2.等邊三角形
知識要點
1．三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形．
2．等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個內角都等于60°
3．等邊三角形的判定方法：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
4．在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
典型例題
分析：由∠BDC=120°和∠EDF=60°得到∠BDE+∠CDF=60°，從而想到把這兩個角拼在一起構造全等三角形，即延長AC至點P，使CP=BE，證明△BDE≌CDP，然后證明△DEF≌△DPF，得到EF=PF，從而把△AEF的周長轉化為用△ABC的邊長表示．
解：延長AC至點P，使CP=BE，連接PD．
∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD=CD，∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠EBD=∠DCF=90°
∴∠DCP=∠DBE=90°
在△BDE和△CDP中
∴△BDE≌△CDP（SAS）
∴DE=DP，∠BDE=∠CDP
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=60° ∴∠CDP+∠CDF=60°
∴∠EDF=∠PDF=60°
在△DEF≌△DPF中
∴△DEF≌△DPF（SAS） ∴EF=FP ∴EF=FC+BE
∴△AEF的周長=AE+EF+AF=AB+AC=2
練習題
一、選擇題
1．正△ABC的兩條角平分線BD和CE交于點I，則∠BIC等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．腰和底邊不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等邊三角形
4．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長度是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
5．如圖，E是等邊△ABC中AC邊上的點，∠1=∠2，BE=CD，則對△ADE的形狀最準備的判斷是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．不能確定形狀
二、填空題
6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則∠B=_______．
7．已知AD是等邊△ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點F，則∠AFE=______．
8．等邊三角形是軸對稱圖形，它有______條對稱軸，分別是_____________．
9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延長線于點D，則CD的長度是_______．
三、解答題
10．已知D、E分別是等邊△ABC中AB、AC上的點，且AE=BD，求BE與CD的夾角是多少度？
11．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于點D，求證：BC=3AD.
12．如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求證：△BCE≌△ACD；②求證：CF=CH；③判斷△CFH的形狀并說明理由．
四、探究題
13．如圖，點E是等邊△ABC內一點，且EA=EB，△ABC外一點D滿足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度數．（提示：連接CE）
答案：
1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．60° 7．60°
8．三；三邊的垂直平分線 9．1cm 10．60°或120°
11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，
∴在Rt△ADC中CD=2AD，
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD
12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．
又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；
②證明△BCF≌△ACH；
③△CFH是等邊三角形．
13．連接CE，先證明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，
再證明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°
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