Question

(本小題滿分13分)已知函數(x>0)在x = 1處
取得極值–3–c，其中a,b,c為常數。
（1）試確定a,b的值；(6分)
（2）討論函數f(x)的單調區間；(4分)
（3）若對任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范圍。(3分)

Answer 1

解：（I）由題意知，因此，從而．
又對求導得．
由題意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
當時，，此時為減函數；
當時，，此時為增函數．
因此的單調遞減區間為，而的單調遞增區間為．
（III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，
要使（）恒成立，只需．
即，從而，解得或．
所以的取值范圍為．

解：（I）由題意知，因此，從而．
又對求導得．
由題意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
當時，，此時為減函數；
當時，，此時為增函數．
因此的單調遞減區間為，而的單調遞增區間為．
（III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，
要使（）恒成立，只需．
即，從而，解得或．
所以的取值范圍為．