Question

（本小題滿分12分）
已知函數，其中。
（1）當滿足什么條件時，取得極值?
（2）已知，且在區間上單調遞增，試用表示出的取值范圍。

Answer 1

（1）
（2）當時，；當時，。

（1）由已知得，令，得，
要取得極值，方程必須有解，
所以△，即，此時方程的根為
，，
所以。
當時，

x	(-∞,x1)	x 1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f’(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值；
當時，   

x	(-∞,x2)	x 2	(x2,x1)	x1	(x1,+∞)
f’(x)	－	0	＋	0	－
f (x)	減函數	極小值	增函數	極大值	減函數

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值。
綜上，當滿足時，取得極值。
（2）要使在區間上單調遞增，需使在上恒成立。
即恒成立，所以
設，，
令得或(舍去)，
當時，，當時，單調增函數；
當時,單調減函數，
所以當時，取得最大,最大值為。
所以
當時，，此時在區間恒成立，所以在區間上單調遞增，當時最大，最大值為，所以
綜上，當時，；當時，。