Question

已知，函數，（其中為自然對數的底數）．
（1）求函數在區間上的最小值；
（2）是否存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當時，函數在區間上無最小值；
當時，函數在區間上的最小值為；
當時，函數在區間上的最小值為．
（2） 不存在，使曲線在點處的切線與軸垂直

 （1）解：∵，∴．
令，得．
①若，則，在區間上單調遞增，此時函數無最小值．
②若，當時，，函數在區間上單調遞減，
當時，，函數在區間上單調遞增，
所以當時，函數取得最小值．
③若，則，函數在區間上單調遞減，
所以當時，函數取得最小值．
綜上可知，當時，函數在區間上無最小值；
當時，函數在區間上的最小值為；
當時，函數在區間上的最小值為．
（2）解：∵，，
∴
．
由（1）可知，當時，．
此時在區間上的最小值為，即．
當，，，
∴．
曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解．
而，即方程無實數解．
故不存在，使曲線在點處的切線與軸垂直．